Bài 2 trang 41 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 2 trang 41 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Cho hàm số f(x) = −2x² có đồ thị (C) và điểm A(1; −2) ∈ (C). Tính hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm A.

Phân tích:

• Hàm số: $f(x) = -2x^2$.

• Điểm tiếp xúc: $A(1; -2)$, suy ra $x_0 = 1$.

• Yêu cầu: Tính hệ số góc $k$ của tiếp tuyến tại $A$, tức là tính $\mathbf{k = f'(1)}$.

Hướng Dẫn Giải (Dùng Định nghĩa Đạo hàm):

Áp dụng định nghĩa đạo hàm tại $x_0 = 1$:

1. Thay $f(x)$ và $f(1)$ vào biểu thức.

2. Phân tích tử số thành nhân tử (sử dụng hằng đẳng thức $x^2-1$) để khử dạng vô định $\frac{0}{0}$.

3. Tính giới hạn của biểu thức đã rút gọn.

Giải bài 2 trang 41 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm A là:

$f'(1)=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(-2x^2)-(-2.1^2)}{x-1}$ $=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{-2x^2+2}{x-1}$

$=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{-2(x^2-1)}{x-1}$ $=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{-2(x-1)(x+1)}{x-1}$

$=\lim_{x\rightarrow 1}[-2(x+1)]$ $=-2(1+1)=-4$

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm A là −4.