Bài 6 trang 86 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 6 trang 86 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Cho chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 4a, AD = 3a. Các cạnh bên đều có độ dài 5a. Góc nhị diện [S, BC, A] có số đo là

A. 75°46′.

B. 71°21′.

C. 68°31′.

D. 65°12′.

Phân Tích Hướng Dẫn Giải:

1. Tìm chân đường cao: Vì các cạnh bên ($SA, SB, SC, SD$) đều bằng nhau ($5a$), nên chân đường cao $SO$ của hình chóp trùng với tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp đáy $ABCD$ (chính là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$). Do đó, $SO \perp (ABCD)$.

2. Xác định Góc Nhị Diện $[S, BC, A]$:

   • Giao tuyến là $BC$.

   • Trong mặt phẳng $(ABCD)$, kẻ $OH \perp BC$ ($H \in BC$).

   • Trong mặt phẳng $(SBC)$, ta có $SO \perp BC$.

   • $\Rightarrow BC \perp (SHO)$.

   • Góc nhị diện cần tìm là góc giữa $SH$ và $OH$, tức là $\angle SHO$.

3. Tính toán: Tính $OH$ và $SO$. Sau đó, sử dụng tỉ số $\tan(\angle SHO)$ trong tam giác vuông $SHO$.

Giải bài 6 trang 86 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Đáp án đúng là: D

Gọi $O$ là tâm của đáy.

Kẻ $OH \perp BC$ ($H \in BC$)

Vì $\triangle SAC$ cân tại $S$ nên $SO \perp AC$.

Vì $\triangle SBD$ cân tại $S$ nên $SO \perp BD$.

Mà $OH \perp BC$ nên $\widehat{SHO}$ là góc nhị diện $[S, BC, A]$.

• Ta có $S_{ABCD}=AB \cdot AD=12a^2 \implies S_{OBC}=\frac{1}{4}S_{ABCD}=3a^2$.

• Mà $S_{OBC}=\frac{1}{2}\cdot BC \cdot OH \implies OH=\frac{2S_{OBC}}{BC}=\frac{2 \cdot 3a^2}{3a}=2a$.

  $OH=2a$

• $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=5a \implies OC=\frac{1}{2}AC=\frac{5a}{2}$.

• Xét $\triangle SOC$ vuông tại $O$: $SO=\sqrt{SC^2-OC^2}=\sqrt{(5a)^2-\left(\frac{5a}{2}\right)^2}=\frac{5a\sqrt{3}}{2}$.

   $SO=\frac{5a\sqrt{3}}{2}$

• Trong $\triangle SHO$ vuông tại $O$:

   $\tan\widehat{SHO}=\frac{SO}{OH}=\frac{\frac{5\sqrt{3}}{2}a}{2a}=\frac{5\sqrt{3}}{4} \implies \widehat{SHO} \approx 65^\circ 12'$