Bài 5 trang 51 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 5 trang 51 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Hàm số $y=\frac{1}{x+1}$ có đạo hàm cấp hai tại x = 1 là

A. $y''(1)=\frac{1}{2}$

B. $y''(1)=-\frac{1}{4}$

C. $y''(1)=4$

D. $y''(1)=\frac{1}{4}$

Phân tích và Phương pháp giải

Để tìm đạo hàm cấp hai của hàm số tại một điểm, chúng ta thực hiện theo quy trình 3 bước sau:

• Bước 1: Tìm đạo hàm cấp một $y'$: Sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp hoặc công thức đặc biệt: $\left( \frac{1}{u} \right)' = -\frac{u'}{u^2}$.

• Bước 2: Tìm đạo hàm cấp hai $y''$: Tiếp tục lấy đạo hàm của biểu thức $y'$ vừa tìm được. Lưu ý sử dụng quy tắc $\left( \frac{1}{u^n} \right)' = -\frac{n \cdot u^{n-1} \cdot u'}{u^{2n}}$.

• Bước 3: Thay giá trị $x = 1$ vào $y''$: Tính toán cẩn thận để tìm kết quả cuối cùng.

Giải bài 5 trang 51 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

* Đáp án: D.

Ta có: $y'=\left (\frac{1}{x+1} \right )'$ $=-\frac{1}{(x+1)^2}$

$y''=\left (-\frac{1}{(x+1)^2} \right )'$ $=\frac{2}{(x+1)^3}$

Khi đó: $y''(1)=\frac{2}{(1+1)^3}$ $=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$