Bài 2 trang 56 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 2 trang 56 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng AB ⊥ CD.

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải (Phương pháp Đường trung bình)

Tứ diện đều là tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau.

1. Chuyển góc: Sử dụng đường trung bình để chuyển góc giữa $AB$ và $CD$ (chéo nhau) về góc giữa hai đường thẳng cắt nhau trong một mặt phẳng (ví dụ: góc $\widehat{NMP}$ trong mặt phẳng $(MNP)$, với $M, N, P$ là các trung điểm).

2. Tính độ dài: Tính độ dài ba cạnh của $\triangle MNP$ theo cạnh $a$ của tứ diện.

3. Chứng minh Vuông góc: Dùng định lý Pitago đảo để chứng minh $\triangle MNP$ là tam giác vuông tại $M$.

4. Kết luận: Góc giữa $AB$ và $CD$ bằng $\widehat{NMP} = 90^\circ$.

Giải bài 2 trang 56 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Ta có hình minh hoạ như sau:

Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện đều ABCD.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC và AD.

Xét tam giác ABC:

M là trung điểm của AC.

N là trung điểm của BC.

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

⇒ MN // AB; MN = AB/2 = a/2 (1)

Tương tự: MP là đường trung bình tam giác ACD:

⇒ MP // CD; MP = CD/2 = a/2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ MN = MP = a/2

Tam giác ABD đều có BP là trung tuyến nên $BP = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác ACD đều có CP là trung tuyến nên $CP = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác BCP có: $BP = CP =\frac{a\sqrt{3}}{2}$

⇒ Tam giác BCP cân tại P.

Mà N là trung điểm của BC

⇒ PN là đường trung tuyến nên PN ⊥ CN

$PN=\sqrt{CP^2-CN^2}$ $=\sqrt{\left ( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right )^2-\left ( \frac{a}{2} \right )^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác MNP:

$MP^2 + MN^2$ $=\left ( \frac{a}{2} \right )^2+\left ( \frac{a}{2} \right )^2$ $=\frac{2a^2}{4}$

$PN^2=\left ( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right )^2=\frac{2a^2}{4}$

⇒ MP² + MN² = PN²

⇒ Tam giác MNP vuông tại M.

Ta có: (AB, CD) = (MN, MP) = $\widehat{NMP}=90^o$

Vậy AB ⊥CD.