Bài 5 trang 56 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 5 trang 56 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết AB = CD = 2a và MN = $a\sqrt{3}$. Tính góc giữa AB và CD.

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải

1. Chuyển Góc: Chọn một điểm trung gian ($O$) (ví dụ: trung điểm $AC$) để tạo ra hai đường trung bình ($\mathbf{OM // AB}$ và $\mathbf{ON // CD}$).

   $\Rightarrow (AB, CD) = (OM, ON)$

2. Tính Độ dài: Tính độ dài $OM$ và $ON$ dựa trên giả thiết $AB = CD = 2a$.

3. Áp dụng Định lý Cosin: Xét $\triangle MON$, ta đã biết độ dài ba cạnh ($OM, ON, MN$). Sử dụng Định lý Cosin để tính $\cos \widehat{MON}$.

   $\cos \widehat{MON} = \frac{OM^2 + ON^2 - MN^2}{2 \cdot OM \cdot ON}$

4. Kết luận: Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn (từ $0^\circ$ đến $90^\circ$). Nếu $\widehat{MON} > 90^\circ$, góc giữa $AB$ và $CD$ là $180^\circ - \widehat{MON}$.

Giải bài 5 trang 56 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Ta có hình minh hoạ như sau:

Gọi O là trung điểm của AC.

Ta có M là trung điểm của BC.

⇒ OM là đường trung bình tam giác ABC

⇒ OM // AB; OM = AB/2 = a

Tương tự ON là đường trung bình tam giác ACD.

⇒  ON // CD; ON = CD/2 = a

⇒  (AB, CD) = (OM, ON)

Trong tam giác MON:

OM = ON = a; 

$MN=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$cos\widehat{MON}=\frac{OM^2+ON^2-MN^2}{2.OM.ON}$ $=\frac{a^2+a^2-(a\sqrt{3})^2}{2.a.a}=\frac{-1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{MON}=120^o$

Vậy $(AB,CD)=180^o-\widehat{MON}=60^o$