Bài 12 trang 87 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 12 trang 87 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Một chân cột bằng gang có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn bằng 2a, cạnh đáy nhỏ bằng a, chiều cao h = 2a và bán kính đáy phần trụ rỗng bên trong bằng a/2.

a) Tìm góc phẳng nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy.

b) Tính thể tích chân cột nói trên theo a.

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

1. Xác định Góc Nhị Diện: Đối với chóp cụt tứ giác đều, mặt bên là hình thang cân, mặt đáy là hình vuông. Góc phẳng nhị diện giữa mặt bên và mặt đáy lớn được xác định trong mặt phẳng chứa đường cao của chóp cụt và đường trung bình của mặt bên.

2. Tính Thể tích: Thể tích chân cột ($V$) là hiệu số giữa thể tích khối chóp cụt ($V_1$) và thể tích khối trụ rỗng ($V_2$):

   $$V = V_1 - V_2$$

   • $V_1$ (Chóp cụt): $V_1 = \frac{1}{3} h (S + \sqrt{S \cdot S'} + S')$.

   • $V_2$ (Trụ rỗng): $V_2 = \pi R^2 h$.

Giải bài 12 trang 87 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Ta có hình minh họa sau:

Mô hình hoá chân cột bằng gang bằng cụt chóp tứ giác đều ABCD.A′B′C′D′ với O, O′ là tâm của hai đáy. Vậy AB = 2a, A′B′ = a, OO′ = 2a.

a) Gọi J, K lần lượt là trung điểm của CD, C′D′.

• A′B′C′D′ là hình vuông nên O′K ⊥ C′D′.

• CDD′C′ là hình thang cân nên JK ⊥ C′D.

Vậy $\widehat{JKO'}$ là góc phẳng nhị diện giữa mặt bên và đáy nhỏ, $\widehat{KJO}$ là góc phẳng nhị diện giữa mặt bên và đáy lớn.

b) Diện tích đáy lớn là: $S=A{B}^2=4a^2$.

Diện tích đáy bé là: $S\text{'}=A^{\prime }{B}^{\text{'}2}=a^2$.

Thể tích hình chóp cụt là:

$V_1=\frac{1}{3}h(S+\sqrt{SS'}+S')=\frac{14a^3}{3}$

Thể tích hình trụ rỗng là: $V_2=\pi\,R^2h=\frac{\pi a^3}{2}$

Thể tích chân cột là: $V=V_1-V_2=(\frac{14}{3}-\frac{\pi }{2})a^3$