Bài 9 trang 86 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 9 trang 86 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AD.

a) Chứng minh rằng (SMD) ⊥ (SNC)

b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SNC).

Giải bài 9 trang 86 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Ta có hình minh họa:

a) Tam giác SAB đều có M là trung điểm AB nên SM ⊥ AB. Mà (SAB) ⊥ (SAB) nên SM ⊥ (ABCD). Suy ra SM ⊥ NC.

Xét ΔAMD và ΔDNC, ta có:

AM = DN

$\widehat{MAD}=\widehat{NDC}$

AD = DC

Do đó ΔAMD và ΔDNC (c.g.c)

Suy ra $\widehat{AMD}=\widehat{CDN}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AMD}=\widehat{ADM}=90^o$ nên  $\widehat{CND}=\widehat{ADM}=90^o$

Từ đó ta có tam giác DNI vuông tại I hay DM ⊥ NC. Mà SM ⊥ NC nên NC ⊥ (SND).

Vậy (SNC) ⊥ (SMD).

b) Kẻ MH ⊥ SI (H $\in$ SI).

Vì NC ⊥ (SMD) ⇒ NC ⊥ MH ⇒ MH ⊥ (SNC)

Tam giác SAB đều có SM là trung tuyến nên $SM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác CND vuông có DI là đường cao nên $\frac{1}{DI^2}=\frac{1}{DN^2}+\frac{1}{DC^2}$

Suy ra $DI=\frac{a\sqrt{5}}{5}$

• $DM=\sqrt{AM^2+AD^2}=\frac{a\sqrt{5}}{5}$

• $MI=MD-DI=\frac{3a\sqrt{5}}{10}$

Và SM ⊥ (ABCD) nên SM ⊥ MI.

Tam giác SMI vuông tại M có MH là đường cao

$\frac{1}{MH^2}=\frac{1}{SM^2}+\frac{1}{MI^2}$

$\RightarrowMH=\frac{3a\sqrt{2}}{8}$