Bài 11 trang 35 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 11 trang 35 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Biết 4^α + 4^−α = 5

Tính giá trị của các biểu thức:

a) 2^α + 2^−α

b) 4^2α + 4^−2α

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

1. Phần a: Nhận thấy $4^\alpha = (2^\alpha)^2$. Ta sử dụng hằng đẳng thức $(A+B)^2$ với $A=2^\alpha, B=2^{-\alpha}$ để liên hệ với $4^\alpha + 4^{-\alpha}$.

   $\mathbf{(A+B)^2 = A^2 + B^2 + 2AB}$ 

   Lưu ý: $2^\alpha \cdot 2^{-\alpha} = 2^{\alpha - \alpha} = 2^0 = 1$.

2. Phần b: Nhận thấy $4^{2\alpha} = (4^\alpha)^2$. Ta sử dụng hằng đẳng thức $A^2 + B^2 = (A+B)^2 - 2AB$ với $A=4^\alpha, B=4^{-\alpha}$. 

   $\mathbf{A^2 + B^2 = (A+B)^2 - 2AB}$

   Lưu ý: $4^\alpha \cdot 4^{-\alpha} = 4^0 = 1$.

Giải bài 11 trang 35 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

a) 2^α + 2^−α 

Ta có: (2^α + 2^−α)² = (2^α)² + 2.2^α.2^−α + (2^−α)2 

= 4^α + 2 + 4^−α = (4^α + 4^−α) + 2 = 5 + 2 = 7

Vậy 2^α + 2^−α = 

b) 4^2α + 4^−2α 

Ta có: 4^2α + 4^−2α = (4^α)² + 2.4^α.4^−α + (4^−α)2 − 2.4^α.4^−α 

=(4^α + 4^−α)² − 2 = 5² − 2 = 23

Vậy  4^2α + 4^−2α = 23