Bài 15 trang 35 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 15 trang 35 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Giải các phương trình:

a) $\left ( \frac{1}{4} \right )^{x-2}=\sqrt{8}$

b) 9^2x − 1 = 81.27^x

c) 2log₅(x − 2) = log₅9

d) log₂(3x + 1) = 2 − log₂(x − 1)

Phân Tích và hướng dẫn giải:

1. Câu a, b (Phương trình Mũ): Đưa về cùng cơ số $2$ hoặc $3$.

2. Câu c (Phương trình Logarit cơ bản): Đặt ĐKXĐ, sử dụng quy tắc $\mathbf{n \log_a u = \log_a u^n}$ và $\mathbf{\log_a u = \log_a v \Leftrightarrow u = v}$.

3. Câu d (Phương trình Logarit tổng): Đặt ĐKXĐ, chuyển vế để sử dụng quy tắc $\mathbf{\log_a u + \log_a v = \log_a (uv)}$.

Giải bài 15 trang 35 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

a) $\left ( \frac{1}{4} \right )^{x-2}=\sqrt{8}$

$\Leftrightarrow\left ( \left ( \frac{1}{2} \right )^2 \right )^{x-2}=\left ( \left ( \frac{1}{2} \right )^{-3} \right )^{\frac{1}{2}}$ $\Leftrightarrow \left ( \frac{1}{2} \right )^{2x-4}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{-\frac{3}{2}$}

$\Leftrightarrow 2x-4=-\frac{3}{2}\Leftrightarrow 2x$ $=\frac{5}{2}\Leftrightarrow x=\frac{5}{4}$

Vậy nghiệm của phương trình là x = 5/4.

b) 9^2x − 1 = 81.27^x

⇔ (3²)^2x − 1 = 3⁴.(3³)^x

⇔ 3^4x−2 = 3^4+3x

⇔ 4x − 2 = 4 + 3x

⇔ x = 6

Vậy nghiệm của phương trình là x = 6

c) 2log₅(x − 2) = log₅9 (*)

ĐKXĐ: x − 2 > 0 ⇔ x > 2

Khi đó (*) ⇔ log₅(x − 2)² = log₅9

⇔ (x − 2)² = 9

⇔ x − 2 = 3 (do đk: x − 2 > 0)

⇔ x = 5

Vậy nghiệm của phương trình là x = 5

d) log₂(3x + 1) = 2 − log₂(x − 1) (*)

ĐKXĐ: 3x + 1 > 0 và x − 1 > 0. Hay x > 1.

Khi đó: (*) ⇔ log₂(3x + 1) + log₂(x − 1) = 2

⇔ log₂[(3x + 1)(x − 1)] = 2

⇔ 3x² − 2x − 1 = 2²

⇔ 3x² − 2x − 5 = 0

⇔ x = −1 hoặc x = 5/3

Kết hợp với điều kiện x > 1, ta có nghiệm của phương trình là x = 5/3