Bài 1 trang 56 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 56 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a. Cho biết $SA = a\sqrt{3}$, SA ⊥ AB và SA ⊥ AD. Tính góc giữa SB và CD, SD và CB.

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải

1. Xác định Vị trí: Do $SA \perp AB$ và $SA \perp AD$, nên $SA$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$.

2. Tính góc (a): $SB$ và $CD$ là hai đường thẳng chéo nhau. Vì $ABCD$ là hình thoi, nên $CD // AB$.

   $\Rightarrow (SB, CD) = (SB, AB)$

3. Tính góc (b): $SD$ và $CB$ là hai đường thẳng chéo nhau. Vì $ABCD$ là hình thoi, nên $CB // AD$.

   $\Rightarrow (SD, CB) = (SD, AD)$

4. Sử dụng Tam giác Vuông: Các góc cần tìm nằm trong các tam giác vuông tại $A$ ($\triangle SAB$ và $\triangle SAD$). Ta dùng hàm số lượng giác $\tan$ để tính góc.

Giải bài 1 trang 56 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Ta có hình minh hoạ như sau:

Vì CD // AB nên (SB, CD) = (SB, AB) = $\widehat{SBA}$

Xét tam giác SBA có: SA ⊥AB nên ΔSAB vuông tại A.

$tan\widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}$ $=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}$

$\Rightarrow \widehat{SBA}=60^o$

Mặt khác, CB // AD nên (SD, CB) = (SD, AD) = $\widehat{SDA}$

Xét tam giác SDA có: SD⊥AD nên ΔSDA vuông tại D.

$tan\widehat{SDA}=\frac{SA}{AD}$ $=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}$

$\Rightarrow \widehat{SDA}=60^o$