Bài 4 trang 56 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo: Góc Giữa Hai Đường Thẳng

Đề bài 4 trang 56 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Gọi $K$ là trung điểm của $CD$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AK$ và $BC$.

Phân tích và hướng dẫn giải:

Để tìm góc giữa hai đường thẳng chéo nhau $AK$ và $BC$, ta có thể thực hiện một trong hai cách sau:

• Cách 1: Phương pháp hình học

  • Dựng một đường thẳng qua một điểm bất kỳ trên một trong hai đường thẳng và song song với đường thẳng còn lại.

  • Góc giữa hai đường thẳng đã cho sẽ bằng góc giữa đường thẳng vừa dựng và đường thẳng còn lại.

• Cách 2: Phương pháp vectơ

  • Sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ: $\cos(\vec{u},\vec{v})=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}$.

Ở đây, ta sẽ sử dụng phương pháp hình học.

Lời giải chi tiết bài 4 trang 56 Toán 11 tập 2 CTST

Ta có hình minh họa:

• Bước 1: Tìm góc

  • Gọi $H$ là trung điểm của $BD$.

  • Vì $K$ là trung điểm của $CD$ và $H$ là trung điểm của $BD$, nên $HK$ là đường trung bình của tam giác $BCD$.

  • Suy ra HK//BC và $HK=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$

  • Góc giữa hai đường thẳng $AK$ và $BC$ chính là góc giữa $AK$ và $HK$, tức là góc AKH.

• Bước 2: Tính độ dài các cạnh của tam giác $AHK$

  • Tam giác $ABD$ là tam giác đều cạnh $a$. Vì $H$ là trung điểm của $BD$, nên $AH$ là đường cao, đồng thời là trung tuyến.

  • $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

  • Tương tự, tam giác $ACD$ là tam giác đều cạnh $a$. Vì $K$ là trung điểm của $CD$, nên $AK$ là đường cao.

  • $AK=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

  • $HK=\frac{a}{2}$ (như đã tính ở trên).

• Bước 3: Tính góc $\widehat{AKH}$

  • Ta xét tam giác $AHK$. Sử dụng định lí côsin:

    $AH^2=AK^2+HK^2-2\cdot AK\cdot HK\cdot\cos(\widehat{AKH})$

  • Thay số vào:

    $(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2=(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{a}{2})^2-2\cdot(\frac{a\sqrt{3}}{2})\cdot(\frac{a}{2})\cdot\cos(\widehat{AKH})$

    $\frac{3a^2}{4}=\frac{3a^2}{4}+\frac{a^2}{4}-\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\cos(\widehat{AKH})$

    $0=\frac{a^2}{4}-\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\cos(\widehat{AKH})$

    $\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\cos(\widehat{AKH})=\frac{a^2}{4}$

    $\cos(\widehat{AKH})=\frac{a^2/4}{a^2\sqrt{3}/2}$ $=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$

  • $\widehat{AKH}=\arccos(\frac{\sqrt{3}}{6})\approx 73,2^\circ$

Đáp số:

Góc giữa hai đường thẳng $AK$ và $BC$ là $\approx 73,2^\circ$.