Bài 7 trang 82 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 7 trang 82 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a và có O là giao điểm hai đường chéo của đáy.

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.

b) Tính thể tích của khối chóp.

Phân Tích Hướng Dẫn Giải:

1. Tính $d(AC, SB)$ (a):

   • Hình chóp tứ giác đều có $SO \perp (ABCD)$. Đáy $ABCD$ là hình vuông.

   • Ta có $AC \perp (SBD)$ (vì $AC \perp BD$ và $AC \perp SO$).

   • Do đó, $d(AC, SB) = d(AC, (SBD))$. Vì $SB \subset (SBD)$, nên khoảng cách giữa $AC$ và $SB$ chính bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên $AC$ đến $(SBD)$.

   • Ta chọn điểm $O$: $d(AC, SB) = d(O, SB) = OH$, với $OH \perp SB$ tại $H$.

2. Tính Thể tích $V$ (b): Áp dụng công thức $V = \frac{1}{3} B \cdot h$, với $B = S_{ABCD}$ và $h = SO$.

Giải bài 7 trang 82 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Kẻ OH ⊥ SB (H ∈ SB)

S.ABCD là hình chóp tứ giác đều 

⇒ SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥AC.

Tứ giác ABCD là hình vuông

⇒ AC ⊥ BD ⇒ AC ⊥(SBD)

⇒ AC ⊥ OH.

Mà OH ⊥ SB

⇒ d(AC, SB) = OH

• Xét ΔABD vuông tại A, ta có:

$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}$ $=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$

$\Rightarrow BO=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

• Xét ΔSBO vuông tại O, ta có:

$SO=\sqrt{SB^2-BO^2}$ $=\sqrt{a^2-\left ( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right )^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

• Xét ΔSBO vuông tại O có SO = BO nên ΔSBO vuông cân tại O

⇒ OH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến.

$\Rightarrow OH=\frac{1}{2}SB=\frac{a}{2}$

Vậy d(AC, SB) = a/2.

b) Ta có: S_ABCD = a²

Thể tích khối chóp là: 

$V=\frac{1}{3}.SO.S_{ABCD}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$