Bài 13 trang 87 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 13 trang 87 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bên AA′ = a, đáy ABCD là hình thoi có AB = BD = a. Hình chiếu vuông góc của A′ lên mặt đáy trùng với điểm O là giao điểm hai đường chéo của đáy. Tính thể tích của khối hộp.

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

1. Xác định chiều cao ($h$): $A'$ chiếu vuông góc xuống $O \Rightarrow h = A'O$.

2. Tính diện tích đáy ($B$): Đáy là hình thoi $ABCD$. $AB = a$ và $BD = a$.

3. Chi tiết Tính toán:

   • Tính $B$: Dùng công thức diện tích hình thoi $B = a^2 \sin(\text{Góc})$ hoặc tính theo đường chéo.

   • Tính $h=A'O$: $O$ là giao điểm hai đường chéo, $AC \perp BD$. $A'O$ là cạnh trong $\triangle A'OA$.

Giải bài 13 trang 87 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Ta có hình minh họa:

Xét tam giác ABD có AB = BD = AD = a nên ΔABD đều

Suy ra $\widehat{BAD}=60^o$

ABCD là hình thoi, O là trung điểm của BD

$\Rightarrow \mathrm{BO}=\mathrm{BD/2}=\frac{\mathrm{a/}}{2},$

$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Ta có: AA′ ⊥ (ABCD) $\Rightarrow$ AA′ ⊥ AO .

$Suy\; ra:\; \$A\prime O=\backslash sqrt\{AA\text{'}^2-AO^2\}=\backslash frac\{a\}\{2\}\$$

$S_{ABCD}=AB.AD.sin\widehat{BAD}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

$V_{\mathrm{ABCD}.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}=A\text{'}O.S_{\mathrm{ABCD}}= \$\backslash frac\{a^3\backslash sqrt\{3\}\}\{4\}\$$