Bài 11 trang 87 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 11 trang 87 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a; số đo góc nhị diện [S, BC, A] bằng 60°. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

1. Xác định Chiều cao ($h$): Điều kiện then chốt là hai mặt phẳng $(SBI)$ và $(SCI)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.

   • Hai mặt phẳng $(SBI)$ và $(SCI)$ cắt nhau theo giao tuyến $SI$.

   • Theo định lý, nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba, thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

   • $\Rightarrow \mathbf{SI \perp (ABCD)}$. Chiều cao khối chóp là $h = SI$.

2. Tính Diện tích Đáy ($B$): Đáy là hình thang vuông tại $A$ và $D$.

   • $B = S_{ABCD} = \frac{1}{2}(\text{Đáy lớn} + \text{Đáy nhỏ}) \cdot \text{Chiều cao}$

   • $B = S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AB + CD) \cdot AD$.

3. Xác định Góc Nhị Diện $[S, BC, A]$:

   • Giao tuyến của $(SBC)$ và $(ABC)$ là $BC$.

   • Ta cần tìm hai đường thẳng cùng vuông góc với $BC$.

   • Trong $(ABCD)$, kẻ $IH \perp BC$ tại $H$.

   • Ta có $BC \perp SI$ (vì $SI \perp (ABCD)$).

   • $\Rightarrow BC \perp (SIH)$. Do đó, $\mathbf{BC \perp SH}$.

   • Góc nhị diện $[S, BC, A]$ chính là góc giữa $SH$ và $IH$, tức là $\mathbf{\widehat{SHI} = 60^\circ}$.

4. Tính toán $SI$:

   • Sử dụng tam giác vuông $SIH$: $SI = IH \cdot \tan 60^\circ$.

   • Cần tính $IH$ bằng cách sử dụng công thức khoảng cách từ $I$ đến $BC$, thường dùng phương pháp diện tích $\triangle IBC$.

Giải bài 11 trang 87 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Ta có hình minh họa:

Kẻ $IH \perp BC$.

Ta có:

Suy ra: $SI \perp BC$ mà $BC \perp IH \Rightarrow BC \perp (SIH) \Rightarrow BC \perp SH$.

Lại có: $\mathbf{[S, BC, A] = \widehat{SHI} = 60^\circ}$.

Ta có: $I$ là trung điểm $AD \Rightarrow AI = ID = \frac{1}{2} AD = a$.

$S_{ABI} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AI = \frac{1}{2} (2a)(a) = a^2$

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$.

$\Rightarrow BM = \frac{1}{2} AB = a$.

Kẻ đường vuông góc từ $C$ xuống $AB$ tại $K$. $AK=a$, $KB=a$, $CK=2a$.

$BC = \sqrt{(2a-a)^2 + (2a)^2} = a\sqrt{5}$.

Xét $\triangle$ vuông tại $B$, $CM = AD = 2a$.

Ta có: $S_{\triangle IBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot IH \Rightarrow IH = \frac{2 S_{IBC}}{BC} = \frac{2 \cdot \frac{3a^2}{2}}{a\sqrt{5}} = \frac{3a^2}{a\sqrt{5}} = \frac{3a}{\sqrt{5}} = \frac{3a\sqrt{5}}{5}$.

Vậy: