Bài 10 trang 51 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 10 trang 51 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = x³ – 4x² + 2x – 3;

b) y = x²e^x.

Phân tích và Phương pháp giải

Để tìm đạo hàm cấp hai, chúng ta thực hiện theo nguyên tắc: Đạo hàm cấp hai là đạo hàm của đạo hàm cấp một.

• Đối với câu a: Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm đa thức $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. Lấy đạo hàm lần lượt cho đến khi đạt cấp hai.

• Đối với câu b: Sử dụng quy tắc đạo hàm của một tích $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Lưu ý rằng sau khi tính $y'$, ta thường đặt nhân tử chung trước khi tiếp tục đạo hàm lần hai để biểu thức gọn gàng hơn.

Giải bài 10 trang 51 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

a) y = x³ – 4x² + 2x – 3

y' = (x³ – 4x² + 2x – 3)' = 3x² – 8x + 2.

y" = (3x² – 8x + 2)' = 6x – 8.

Vậy y" = 6x – 8.

b) y = x²e^x

y' = (x²e^x)' = (x²)'×e^x + x²(e^x)' = 2xe^x + x²e^x = (2x + x²)e^x.

y" = [(2x + x²)e^x]' = (2x + x²)'e^x + (2x + x²)(e^x)'

= (2x + 2)e^x + (2x + x²)e^x = (x² + 4x + 2)e^x.

Vậy y" = (x² + 4x + 2)e^x.