Bài 4 trang 81 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 81 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A′BC) và (ABC) bằng 60°.

a) Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.

b) Tính thể tích của khối lăng trụ.

Phân Tích Hướng Dẫn Giải:

1. Tính Chiều cao ($h=AA'$): Khoảng cách giữa hai đáy $AA'$ là chiều cao lăng trụ. Trong lăng trụ đứng, góc giữa mặt bên $(A'BC)$ và mặt đáy $(ABC)$ được xác định bằng góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến $BC$.

   • Xác định Góc: Góc giữa $(A'BC)$ và $(ABC)$ là $\angle A'MA$, với $AM \perp BC$ tại $M$ (do $\triangle ABC$ đều), và $A'M$ là hình chiếu của $AM$ lên $(A'BC)$.

   • Tính $AA'$: Sử dụng hệ thức lượng trong $\triangle A'MA$ vuông tại $A$.

2. Tính Thể tích ($V$): Áp dụng công thức $V = B \cdot h$, với $B$ là diện tích đáy ($\triangle ABC$) và $h = AA'$.

Giải bài 4 trang 81 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Vì khối lăng trụ đều nên gọi là trung điểm của BC AM ⊥ BC. Do đó góc giữa hai mặt phẳng ((A′BC), $(ABC)) = \widehat{SMA}=60^o$

Do đó khoảng cách giữa hai đáy của lăng trụ là:

$AA' = AM.tan\widehat{SMA}$ $=\frac{a\sqrt{3}}{2}.tan60^o$ $=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}$ $=\frac{3a}{2}$

b) Thể tích khối lăng trụ là: 

$V = AA'.S_ΔABC $ $=\frac{3a}{2}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{8}a^3$