Bài 2 trang 81 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 2 trang 81 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Cho hai tam giác cân ABC và ABD có đáy chung AB và không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a) Chứng minh rằng AB ⊥ CD.

b) Xác định đoạn vuông góc chung của AB và CD.

Phân Tích Hướng Dẫn Giải:

1. Tính chất Tam giác cân: Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao.

2. Chứng minh $AB \perp CD$ (a):

   • Gọi $M$ là trung điểm của $AB$.

   • Chứng minh $AB$ vuông góc với mặt phẳng chứa $CD$ và $M$ (mặt phẳng $(MCD)$).

3. Xác định Đoạn Vuông góc chung (b):

   • Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $d_1$ và $d_2$ là đoạn $MN$ sao cho $MN \perp d_1$ và $MN \perp d_2$.

   • Ta đã có $AB \perp (MCD)$, nên mọi đường trong $(MCD)$ vuông góc với $CD$ sẽ là đoạn vuông góc chung.

Giải bài 2 trang 81 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Gọi M là trung điểm của AB.

Ta có: CM ⊥ AB và DM ⊥ AB

⇒ AB ⊥ (MCD) ⇒ AB ⊥ CD

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc M của trên CD.

Ta có: (CMD) ⊥ AB ⇒ MH ⊥ AB (1)

Mà CD ⊥ MH (2)

Từ (1) và (2) ⇒ MH là đoạn vuông góc chung của AB và CD

Do đó MH là đoạn vuông góc chung của AB và CD.