Bài 2 trang 13 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo

Đề bài 2 trang 13 Toán 11 CTST:

Viết các biểu thức sau dưới dạng một luỹ thừa (a>0)

a) $3.\sqrt{3}.\sqrt[4]{3}.\sqrt[8]{3}$

b) $\sqrt{a.\sqrt{a.\sqrt{a}}}$

c) $\frac{\sqrt{a}.\sqrt[3]{a}.\sqrt[4]{a}}{(\sqrt[5]{a})^3.a^{\frac{2}{5}}}$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Ta sử dụng các quy tắc chuyển đổi và phép toán lũy thừa:

1. Chuyển căn thành lũy thừa: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

2. Nhân/Chia lũy thừa cùng cơ số: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ và $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Lời giải chi tiết bài 2 trang 13 Toán 11:

a) $3.\sqrt{3}.\sqrt[4]{3}.\sqrt[8]{3}$

$=3.3^{\frac{1}{2}}.3^{\frac{1}{4}}.3^{\frac{1}{8}}$ $=3^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}}=3^\frac{15}{8}$

b) $\sqrt{a.\sqrt{a.\sqrt{a}}}$

$=\sqrt{a.\sqrt{a.a^{\frac{1}{2}}}}$ $=\sqrt{a.\sqrt{a^{1+\frac{1}{2}}}}$ $=\sqrt{a.\sqrt{a^{\frac{3}{2}}}}$

$=\sqrt{a.a^{\frac{3}{4}}}=\sqrt{a^{1+\frac{3}{4}}}$ $=\sqrt{a^{\frac{7}{4}}}=a^{\frac{7}{8}}$

c) $\frac{\sqrt{a}.\sqrt[3]{a}.\sqrt[4]{a}}{(\sqrt[5]{a})^3.a^{\frac{2}{5}}}$

$=\frac{a^{\frac{1}{2}}.a^{\frac{1}{3}}.a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{3}{5}}.a^{\frac{2}{5}}}=\frac{a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}}{a^{\frac{3}{5}+\frac{2}{5}}}$$=\frac{a^{\frac{13}{12}}}{a}=a^{\frac{13}{12}-1}=a^{\frac{1}{12}}$