Bài 1 trang 41 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 41 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) f(x) = −x²;

b) f(x) = x² − 2x;

c) f(x) = 4/x

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để tính đạo hàm của hàm số $f(x)$ bằng định nghĩa, ta thực hiện theo các bước sau:

1. Lập Tỉ số: Viết tỉ số $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.

2. Khử dạng vô định: Biến đổi tỉ số trên để khử dạng vô định $\frac{0}{0}$ (khi $x \to x_0$).

   • Đối với hàm đa thức (a, b): Phân tích tử số thành nhân tử để xuất hiện $(x-x_0)$.

   • Đối với hàm phân thức (c): Quy đồng tử số để xuất hiện $(x-x_0)$.

3. Tính Giới hạn: Tính giới hạn của biểu thức đã rút gọn khi $x \to x_0$.

Giải bài 1 trang 41 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

a)  f(x) = −x²

Với bất kì x₀ ∈ ℝ, ta có:

$f'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_o}\frac{(-x^2)-(-x_o^2)}{x-x_o}$

$=\lim_{x\rightarrow x_o}\frac{-x^2+x_o^2}{x-x_o}$ $=\lim_{x\rightarrow x_o}\frac{-(x-x_o)(x+x_o)}{x-x_o}$

$=\lim_{x\rightarrow x_o}(-x-x_o)$ $=-x_o-x_o=-2x_o$

Vậy f'(x) = (–x²)' = –2x_o trên ℝ

b) f(x) = x² − 2x

Với bất kì x₀ ∈ ℝ, ta có:

$f'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_o}\frac{(x^3-2x)-(x_o^3-2x_o)}{x-x_o}$

$=\lim_{x\rightarrow x_o}\frac{x^3-2x-x_o^3+2x_o}{x-x_o}$ $=\lim_{x\rightarrow x_o}\frac{(x^3-x_o^3)-(2x-2x_o)}{x-x_o}$

$=\lim_{x\rightarrow x_o}\frac{(x-x_o)(x^2+x.x_o+x_o^2)-2(x-x_o)}{x-x_o}$

$=\lim_{x\rightarrow x_o}\frac{(x-x_o)(x^2+x.x_o+x_o^2-2)}{x-x_o}$

$=\lim_{x\rightarrow x_o}(x^2+x.x_o+x_o^2-2)$

$=x_o^2+x_o.x_o+x_o^2-2=3x_o^2-2$

Vậy f'(x) = (x³ – 2x)' = 3x² – 2 trên ℝ

c) f(x) = 4/x

Với bất kì x₀ ≠ 0, ta có:

$f'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_o}\frac{\frac{4}{x}-\frac{4}{x_o}}{x-x_o}$ $=\lim_{x\rightarrow x_o}\frac{\frac{4x_o-4x}{xx_o}}{x-x_o}$

$=\lim_{x\rightarrow x_o}\frac{4x_o-4x}{x.x_o(x-x_o)}$ $=\lim_{x\rightarrow x_o}\frac{-4(x-x_o)}{x.x_o(x-x_o)}$

$=\lim_{x\rightarrow x_o}\frac{-4}{x.x_o}$ $=\frac{-4}{x_o.x_o}=-\frac{4}{x_o^2}$

Vậy $f'(x)=\left ( \frac{4}{x} \right )'=-\frac{4}{x^2}$ trên các khoảng (−∞; 0) và (0; +∞).