Bài 7 trang 13 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo

Đề bài 7 trang 13 Toán 11 CTST:

Biết rằng $4^\alpha =\frac{1}{5}$. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) 16^α + 16^–α

b) (2^α + 2^–α)²

Phân tích và Hướng dẫn giải:

• Mối liên hệ: Ta nhận thấy các cơ số $16$ và $2$ đều có thể được biểu diễn qua cơ số $4$: $16 = 4^2$ và $2 = \sqrt{4} = 4^{\frac{1}{2}}$.

• Quy tắc: Sử dụng $(a^m)^n = a^{mn}$ và $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

a) $16^\alpha + 16^{-\alpha}$

Biến đổi về cơ số $4$: $16^\alpha = (4^2)^\alpha = (4^\alpha)^2$.

b) $(2^\alpha + 2^{-\alpha})^2$

Khai triển hằng đẳng thức $(A+B)^2$ và biến đổi các số hạng về cơ số $4$.

Lời giải chi tiết bài 7 trang 13 Toán 11:

a) 16^α + 16^–α

$= 16^\alpha +\frac{1}{16^\alpha }$ $=(4^2)^\alpha +\frac{1}{(4^2)^\alpha }$ $=\left ( \frac{1}{5} \right )^2+\frac{1}{\left ( \frac{1}{5} \right )^2}$

$=\frac{1}{25}+\frac{1}{\frac{1}{25}}$ $=\frac{1}{25}+25=\frac{626}{25}$

b) (2^α + 2^–α)²

= (2^α)² + 2.2^α.2^−α + (2^−α)² = (2²)^α + 2^1+α−α + (2²)^−α = 4^α + 2 + 4^−α 

$=4^\alpha +2+\frac{1}{4^\alpha }$ $=\frac{1}{5}+2+\frac{1}{\frac{1}{5}}$ $=\frac{1}{5}+2+5=\frac{36}{5}$