Bài 1.42 trang 44 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề Bài 1.42 trang 44 Toán 12:

Tìm các tiệm cận của mỗi đồ thị hàm số sau:

a) $y=\frac{3x-2}{x+1}$

b) $y=\frac{x^2+2x-1}{2x-1}$

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số, chúng ta cần nhớ các quy tắc sau:

1. Tiệm cận đứng (TCĐ): Đường thẳng $x=a$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu \lim_{x\to a^{\pm}}y=\pm\infty. Ta thường tìm TCĐ tại các điểm làm cho mẫu số bằng 0.

2. Tiệm cận ngang (TCN): Đường thẳng $y=b$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nếu $\lim_{x\to\pm\infty}y=b$.

3. Tiệm cận xiên (TCX): Đường thẳng $y=ax+b$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số nếu $\lim_{x\to\pm\infty}[y-(ax+b)]=0$. Đối với hàm phân thức, ta có thể thực hiện phép chia đa thức để tìm phương trình TCX.

Chúng ta sẽ lần lượt áp dụng các quy tắc này để tìm tiệm cận cho từng hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) $y=\frac{3x-2}{x+1}$

TXĐ: D = R\{-1}

Ta có: TXĐ

$\lim_{x\rightarrow -1^+}y=\lim_{x\rightarrow -1^+}\frac{3x-2}{x+1}=-\infty$

$\lim_{x\rightarrow -1^-}y=\lim_{x\rightarrow -1^-}\frac{3x-2}{x+1}=+\infty$

Nên x = -1 là tiện cận đứng của đồ thị hàm số

$\lim_{x\rightarrow -\infty}y=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{3x-2}{x+1}=3$

$\lim_{x\rightarrow +\infty}y=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{3x-2}{x+1}=3$

Nên y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

b) $y=\frac{x^2+2x-1}{2x-1}$

TXĐ: D = R\{1/2}

$\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}^-} y$ $=\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}^-} \frac{x^2+2x-1}{2x-1}=-\infty$

$\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}^+} y$ $=\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}^+} \frac{x^2+2x-1}{2x-1}=+\infty$

Vậy $x=\frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

$a= \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{y}{x}$ $=\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x^2+2x-1}{2x^2-x}=\frac{1}{2}$

$b= \lim_{x\rightarrow +\infty}(y-ax)$ $=\lim_{x\rightarrow +\infty}\left [ \frac{x^2+2x-1}{2x-1}-\frac{1}{2}x \right ]$ $=\lim_{x\rightarrow +\infty}\left ( \frac{\frac{5}{2}x-1 }{2x-1}\right )=\frac{5}{4}$

Vậy $y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số