Bài 1.41 trang 44 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề Bài 1.41 trang 44 Toán 12:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2x+1}{3x-2}$ trên nửa khoảng [2; +∞)

b) $y=\sqrt{2-x^2}$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số $y=f(x)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Tính đạo hàm y′=f′(x).

3. Tìm các điểm cực trị trên khoảng đã cho bằng cách giải phương trình y′=0.

4. So sánh các giá trị: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị (nếu có) và tại các mút của khoảng, đoạn.

5. Kết luận: GTLN và GTNN là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong số các giá trị đã tính.

Lời giải chi tiết:

a) $y=\frac{2x+1}{3x-2}$ trên nửa khoảng [2; +∞)

Ta có: $y'=\frac{-7}{(3x-2)^2}<0$, $\forall x\in [2;+\infty )$

hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên nửa khoảng [2; +∞)

b) $y=\sqrt{2-x^2}$

TXĐ: $x\in[-\sqrt{2};\sqrt{2}]$

$y'=\frac{-2x}{2\sqrt{2-x^2}}$$=\frac{-x}{\sqrt{2-x^2}}=0$$\Leftrightarrow x=0\: (t/m)$

Khi đó:

$y(-\sqrt{2})=y(\sqrt{2})=0$

$y(0)=\sqrt{2}$

Vậy: $\min_{[-\sqrt{2};\sqrt{2}]}y$ $=y(-\sqrt{2})=y(\sqrt{2})=0$

$\max_{[-\sqrt{2};\sqrt{2}]}y=y(0)=\sqrt{2}$