Bài 1.43 trang 44 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề bài:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = -x³ + 6x² - 9x + 12

b) 

c) 

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tập xác định (TXĐ) của hàm số.

2. Xét sự biến thiên:

   • Tính đạo hàm y'.

   • Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình y' = 0.

   • Xét dấu của y' để tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến.

   • Tìm các đường tiệm cận (nếu có).

   • Lập bảng biến thiên.

3. Vẽ đồ thị:

   • Xác định các điểm đặc biệt như điểm cực trị, giao điểm với các trục tọa độ.

   • Dựa vào bảng biến thiên để vẽ đồ thị một cách chính xác.

Lời giải chi tiết:

a) y = -x³ + 6x² - 9x + 12 (1)

• TXĐ: D = R

• Sự biến thiên

y' = -3x² + 12x - 9 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3

Trên khoảng (1; 3, y' > 0 nên hàm số đồng biến.

Trên khoảng (-∞; 1) và (3; +∞), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại x = 3, giá trị cực đại y_CĐ = 12

Hàm số đạt cực tiểu tại x - 1, giá trị cực tiểu y_CT = 8

Giới hạn tại vô cực:

Bảng biến thiên:

• Đồ thị

Giao điểm của đồ thị hàm (1) số với Oy là (0; 12)

Đồ thị hàm số (1) đi qua các điểm (1; 8); (3; 12); (4; 8).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (2; 10).

b) 

• TXĐ: D = R\{-1}

• Sự biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -1) và (-1; +∞)

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn: 

Nên y = 2 là tiệm cận ngang của hàm số

Nên x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số

Bảng biến thiên:

• Đồ thị

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; -1)

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm (1/2; 0)

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(-1; 2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

c)  

• TXĐ: D = R\{1}

• Sự biến thiên

Ta có:

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 1) và (1; +∞)

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn: 

Nên x = 1 là tiệm cận đứng của hàm số

Nên y = x - 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

Bảng biến thiên:

• Đồ thị

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung Oy (x = 0) là (0; 0).

Đồ thị hàm số giao với trục hoành Ox (y = 0) tại các điểm (0; 0) và (2; 0)

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 0) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.