Bài 1.44 trang 44 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề Bài 1.44 trang 44 Toán 12:

Xét một thấu kính hội tụ có tiêu cự f (H.1.39). Khoảng cách p từ vật đến thấu kính liên hệ với khoảng cách q từ ảnh đến thấu kinh bởi hệ thức:

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{f}$

a) Viết công thức tính q = g(p) như một hàm số của biến p ∈ (f; +∞)

b) Tính các giới hạn $\lim_{p \to+\infty }g(p)$; $\lim_{p \to f^+ }g(p)$ và giải thích ý nghĩa các kết quả này

c) Lập bảng biến thiên của hàm số q = g(p) trên khoảng (f; +∞)

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán có ba yêu cầu chính:

a) Lập hàm số $q=g(p)$: Từ công thức thấu kính, ta sẽ biến đổi để rút $q$ ra theo $p$ và $f$.

b) Tính giới hạn và giải thích ý nghĩa: Tính giới hạn của $g(p)$ khi $p\to +\infty$ và p→f⁺. Các giới hạn này sẽ cho ta biết vị trí của ảnh khi vật ở rất xa hoặc rất gần thấu kính.

c) Lập bảng biến thiên: Sử dụng đạo hàm của hàm số $g(p)$ để khảo sát sự biến thiên của nó trên khoảng $(f;+\infty )$.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{f}\Rightarrow q=\frac{pf}{p-f}$

Nên: $q=g(p)=\frac{pf}{p-f}$ với p ∈ (f; +∞)

b) Ta có

$\lim_{p\rightarrow +\infty }g(p)=\lim_{p\rightarrow +\infty }\frac{pf}{p-f}$ $=\lim_{p\rightarrow +\infty }\frac{f}{1-\frac{f}{p}}=f$

$\lim_{p\rightarrow f^+ }g(p)=\lim_{p\rightarrow f^+ }\frac{pf}{p-f}=+\infty$

• Ý nghĩa của $\lim_{p\rightarrow +\infty }g(p)=f$: Khoảng cách từ vật đến thấu kính tiến ra vô cùng thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính xấp xỉ tiêu cự.

• Ý nghĩa của $\lim_{p\rightarrow f^+ }g(p)=+\infty$: Khoảng cách từ vật đến thấu kính tiến gần về tiêu cự f thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính là càng lớn.

c) Ta có:

$q'=g'(p)=\frac{-f^2}{(p-f)^2}<0,$ $\forall p\in (f;+\infty )$

Nên hàm số nghịch biến trên (f; +∞)

Bảng biến thiên: