Bài 1.40 trang 43 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề Bài 1.40 trang 43 Toán 12:

Xét chiều biến thiên và tìm các cực trị (nếu có) củ các hàm số sau:

a) $y = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

b) $y = x^4 - 2x^2 - 1$

c) $y=\frac{2x-1}{3x+1}$

d) $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để khảo sát sự biến thiên và tìm cực trị của hàm số, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tập xác định (TXĐ) của hàm số.

2. Xét sự biến thiên:

   • Tính đạo hàm y'.

   • Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình y; = 0.

   • Xét dấu của y' để tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến.

   • Lập bảng biến thiên.

3. Tìm cực trị: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số (nếu có).

Lời giải chi tiết:

a) y = x³ - 3x² + 3x - 1

TXĐ: D = R

Ta có: y' = 3x² - 6x + 3 = 0 ⇔ x = 1

Bảng biến thiên:

Hàm số y = x³ - 3x² + 3x - 1 đồng biến trên khoảng (-∞; 1) và (1; +∞)

Hàm số không có cực trị

b) y = x⁴ - 2x² - 1

TXĐ: D = R

y' = 4x³ - 4x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = -1.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số y = x⁴ - 2x² - 1 đồng biến trên khoảng (-1; 0) và (1; +∞)

Hàm số y = x⁴ - 2x² - 1 nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) và (0; 1)

Hàm số có cực đại tại x = 0 và giá trị cực đại y_CĐ = -1

Hàm số có cực tiểu tại x = 1 và x = -1, và giá trị cực tiểu y_CT = -2

c) $y=\frac{2x-1}{3x+1}$

TXĐ: D = R\{-1/3}

$y'=\frac{2(3x+1)-3(2x-1)}{(3x+1)^2}$ $=\frac{5}{(3x+1)^2}>0$ với mọi x ∈ D.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số $y=\frac{2x-1}{3x+1}$ đồng biến trên khoảng (-∞; -1/3) và (-1/3; +∞)

Hàm số không có cực trị

d) $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}$

TXĐ: D = R\{-1}

$y'=\frac{(2x+2)(x+1)-(x^2+2x+2)}{(x+1)^2}$$=\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}=0$ $\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=0\\ x=-2 \end{matrix} \right.(t/m)$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}$ đồng biến trên khoảng (-∞; -2) và (0; +∞)

Hàm số y = x⁴ - 2x² - 1 nghịch biến trên khoảng (-2; -1) và (-1; 0)

Hàm số có cực đại tại x = -2 và giá trị cực đại y_CĐ = -2

Hàm số có cực tiểu tại x = 0, và giá trị cực tiểu y_CT = 2