Bài 1.45 trang 44 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề bài:

Dân số của một quốc gia sau t (năm) kể từ năm 2023 được ước tính bởi công thức

N(t) = 100e^0,012t (N(t) được tính bằng triệu người 0 ≤ t ≤ 50)

a) Ước tính dân số của quốc gia này vào các năm 2030 và 2035 (kết quả tính bằng triệu người, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba).

b) Xem N(t) là hàm số của biến số t xác định trên đoạn [0; 50]. Xét chiều biến thiên của hàm số N(t) trên đoạn [0; 50].

c) Đạo hàm của hàm số N(t) biểu thị tốc độ tăng dân số của quốc gia đó (tính bằng triệu người/ năm). Vào năm nào tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm?

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán có ba yêu cầu chính:

a) Ước tính dân số vào các năm cụ thể: Ta chỉ cần thay giá trị của $t$ tương ứng với mỗi năm vào hàm số $N(t)$.

b) Xét chiều biến thiên của hàm số $N(t)$: Ta sẽ tính đạo hàm N′(t) và xét dấu của nó để tìm khoảng đồng biến/nghịch biến.

c) Tìm năm có tốc độ tăng dân số nhất định: Tốc độ tăng dân số chính là đạo hàm N′(t). Ta sẽ giải phương trình N′(t)=1,6 để tìm $t$, từ đó suy ra năm tương ứng.

Lời giải chi tiết:

a) Dân số của quốc gia vào năm 2030 là: 

N(7) = 100e^0,012.7 = 100e^0,084 = 108,763  (triệu người)

Dân số của quốc gia vào năm 2035 là: 

N(12) = 100e^0,012.12 = 100e^0,144 = 115,488  (triệu người)

b) Trên đoạn [0; 50] ta có: 

N'(t) = 0,012.100e^0,012t = 1,2e^0,012t > 0 với mọi t ∈ [0; 50]

Vì vậy, hàm số N(t) đồng biến trên đoạn [0; 50].

c) Ta có: N'(t) = 1,2e^0,012t

Với tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm ta có:

1,6 = 1,2e^0,012t 

Vậy vào năm 2046 thì tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm.