Bài 2.11 trang 59 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề Bài 2.11 trang 59 Toán 12:

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng có độ dài bằng 1. Biết rằng góc nằm giữa hai vectơ đó là 45^o, hãy tính:

a) $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$

b) $(\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})$

a) $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải bài toán này, các em cần nhớ các công thức sau:

• Định nghĩa tích vô hướng: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})$.

• Bình phương vô hướng: $\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2$.

• Tính chất phân phối: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$.

Lời giải chi tiết:

a) $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ 

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$

$= 1.1.cos45^o=\frac{\sqrt{2}}{2}$

b) $(\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})$

Ta có: $(\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})$$=\overrightarrow{a}^2+3\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-6\overrightarrow{b}^2$

$=\overrightarrow{a}^2+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-6\overrightarrow{b}^2$

$=1+\frac{\sqrt{2}}{2}+6.1=-5+\frac{\sqrt{2}}{2}$

c) $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2$

Ta có: $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2=\overrightarrow{a}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2$

$=1+2.\frac{\sqrt{2}}{2}+1=2+\sqrt{2}$