Bài 2.12 trang 59 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề Bài 2.12 trang 59 Toán 12:

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DC}$

b) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để chứng minh các đẳng thức vector, chúng ta sẽ sử dụng các quy tắc cơ bản của vector và tích vô hướng:

1. Quy tắc ba điểm: $\vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CB}$.

2. Tính chất phân phối của tích vô hướng: $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$.

3. Vector đối: $\vec{BA} = -\vec{AB}$.

Chúng ta sẽ biến đổi một vế của mỗi đẳng thức để chứng minh nó bằng vế còn lại.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh họa như sau:

a) Ta có:

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DC}$ $=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}$ $=\overrightarrow{CD}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})=\overrightarrow{CD}$(đpcm)

b) Ta có:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}$$= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}).\overrightarrow{DB}$ $+(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}).\overrightarrow{BC}$

$= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DB}$ $+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}$

$=\overrightarrow{AB}.(.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC})$ $+(\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC})$

$=\overrightarrow{AB}(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC})$ $+\overrightarrow{BC}(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DB})=\overrightarrow{0}$