Bài 2.10 trang 59 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề Bài 2.10 trang 59 Toán 12:

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây và tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó:

a) $\overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{C'C}$

b) $\overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{BC}$

c) $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{B'A'}$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải bài toán này, các em cần nhớ các công thức sau:

• Tích vô hướng của hai vectơ: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})$.

• Góc giữa hai vectơ: $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.

Đối với các vectơ trong hình học, chúng ta sẽ xác định góc và độ dài của chúng dựa trên các tính chất của hình lăng trụ tứ giác đều và định lý Pythagoras.

• Hình lăng trụ tứ giác đều: Có đáy là hình vuông và các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh họa như sau:

a) $\overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{C'C}$

Vì AA’//CC’ nên hai vectơ $\overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{C'C}$ ngược hướng nhau

$\Rightarrow \left ( \overrightarrow{AA'}, \overrightarrow{C'C} \right )=180^o$

Nên $\overrightarrow{AA'}. \overrightarrow{C'C}= \left |\overrightarrow{AA'} \right |.\left | \overrightarrow{C'C} \right |.cos( \overrightarrow{AA'}, \overrightarrow{C'C})$$=2.2.cos180^o=-4$

b) $\overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{BC}$

Vì A’ADD’ là hình chữ nhật nên $\widehat{A'AD}=90^o$

Vì ABCD là hình vuông nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$

Nên $\left ( \overrightarrow{AA'}, \overrightarrow{BC}\right )$ $=\left ( \overrightarrow{AA'},\overrightarrow{AD} \right )=\widehat{A'AD}=90^o$

Ta có:

$\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{AD}$$=|\overrightarrow{AA'}|.|\overrightarrow{AD}.cos(\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{AD})=2.1.cos90^o=0$

c) $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{B'A'}$

Vì A’ABB’ là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{B'A'}=\overrightarrow{BA}$

Vì ABCD là hình vuông nên $\widehat{CAB}=45^o$ và $AC=\sqrt{2}$

Ta có: 

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'A'}=-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$$=-|\overrightarrow{AC}|.|\overrightarrow{AB}|.cos(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})$$=-\sqrt{2}.1.cos45^o=-1$