Bài 2.9 trang 59 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề bài:

Ba sợi dây không giãn với khối lượng không đáng kể được buộc chung một đầu và được kéo căng về ba hướng khác nhau (H.2.31). Nếu các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi dây nằm trên cùng một mặt phẳng. Hãy giải thích vì sao.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài cho biết ba lực kéo căng ba sợi dây tại một điểm, làm cho chúng ở trạng thái đứng yên. Chúng ta cần giải thích vì sao ba sợi dây này nằm trên cùng một mặt phẳng.

Để giải thích, ta sẽ sử dụng nguyên tắc cơ bản của vật lý và vector:

1. Nguyên tắc cân bằng lực: Khi một vật đứng yên dưới tác dụng của nhiều lực, tổng vector của các lực đó bằng vector không.

2. Mối quan hệ giữa các vector: Từ nguyên tắc cân bằng lực, ta có thể biểu diễn một vector lực là vector đối của tổng hai vector lực còn lại.

3. Mối quan hệ giữa các mặt phẳng: Tổng vector của hai vector bất kỳ sẽ nằm trên mặt phẳng chứa hai vector đó.

Chúng ta sẽ áp dụng các nguyên tắc này để chứng minh rằng ba vector lực đều nằm trên cùng một mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Biểu diễn lực các lực kéo của ba sợi dây bằng các vectơ, đặt tên các vectơ như hình vẽ:

Lấy điểm D sao cho tứ giác DAOB là hình bình hành (điểm D nằm khác phía với điểm C).

Nên giá của các vectơ  và  cùng nằm trên mặt phẳng (OABD). (1)

Vì OADB là hình bình hành nên  (quy tắc hình bình hành)

Vì các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên nên , do đó hai vectơ  có  giá cùng nằm trên một mặt phẳng (OADB). (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba vectơ ,  và  có giá cùng nằm trên mặt phẳng (OADB).

Vậy khi các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi dây nằm trên cùng một mặt phẳng