Bài 2.18 trang 65 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề Bài 2.18 trang 65 Toán 12:

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp OABC.O’A’B’C’ có A(1; 1; -1), B(0; 3; 0), C'(2; -3; 6)

a) Xác định tọa độ của điểm C.

b) Xác định các tọa độ đỉnh còn lại của hình hộp.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải bài toán, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp vector và các tính chất của hình hộp:

• Tọa độ của một điểm: Tọa độ của một điểm M chính là tọa độ của vector $\vec{OM}$.

• Quy tắc hình bình hành: Trong hình bình hành MNPQ, ta có $\vec{MN} + \vec{MQ} = \vec{MP}$.

• Quy tắc hình hộp: Trong hình hộp OABC.O'A'B'C', ta có $\vec{OC'} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OO'}$ .

Chúng ta sẽ sử dụng các tính chất này để tìm tọa độ các đỉnh còn lại một cách tuần tự.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh họa như sau:

a) Ta có: O(0; 0; 0)

Vì OABC.O’A’B’C’ là hình hộp nên AOBC là hình bình hành, do đó:

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CB}$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_A=x_B-x_C\\ y_A=y_B-y_C\\ z_A=z_B-z_C \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_C=x_A-x_B=1-0=1\\ y_C=y_A-y_B=1-3=-2\\ z_C=z_A-z_B=-1-0=-1 \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow C(1;-2;-1)$

b) Vì OABC.O’A’B’C’ là hình hộp nên

$\overrightarrow{OO'}=\overrightarrow{CC'} $ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{O'}=x_{C'}-x_C=2-1=1\\ y_{O'}=y_{C'}-y_C=-3-(-2)=-1\\ z_{O'}=z_{C'}-z_C=6-(-1)=7 \end{matrix}\right.$

⇒ O'(1; -1; 7)

$\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{CC'} $ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{A'}-x_A=x_{C'}-x_C=1\\ y_{A'}-y_A=y_{C'}-y_C=-1\\ z_{A'}-z_A=z_{C'}-z_C=7 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{A'}=2\\ y_{A'}=0\\ z_{A'}=6 \end{matrix}\right.\Rightarrow A(2;0;6)$

$\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{CC'} $ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{B'}-x_B=x_{C'}-x_C=1\\ y_{B'}-y_B=y_{C'}-y_C=-1\\ z_{B'}-z_B=z_{C'}-z_C=7 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{B'}=1\\ y_{B'}=2\\ z_{B'}=7 \end{matrix}\right.\Rightarrow B'(1;2;7)$