Bài 2.17 trang 65 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề Bài 2.17 trang 65 Toán 12:

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc O và các đỉnh D, B, A’ có tọa độ lần lượt là (2; 0; 0), (0; 4; 0), (0; 0; 3) (H.2.45). Xác định tọa độ của các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải bài toán, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp vector và các tính chất của hình hộp:

• Tọa độ của một điểm: Tọa độ của một điểm M chính là tọa độ của vector $\vec{OM}$.

• Quy tắc hình bình hành: Trong hình bình hành MNPQ, ta có $\vec{MN} = \vec{QP}$.

• Quy tắc hình hộp: Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D',  ta có $\vec{AC'} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA'}$.

Chúng ta sẽ sử dụng các tính chất này để tìm tọa độ các đỉnh còn lại một cách tuần tự.

Lời giải chi tiết:

Vì A trùng gốc O nên A(0; 0; 0).

Vì D thuộc tia Ox nên hai vectơ $\overrightarrow{OD}$ và $\overrightarrow{i}$ cùng hướng.

Nên tồn tại số thực m sao cho $\overrightarrow{OD}=m\overrightarrow{i}$

Mà D(2; 0; 0) nên m = 2

Vì B thuộc tia Oy nên hai vectơ $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{j}$ cùng hướng.

Nên tồn tại số thực n sao cho $\overrightarrow{OB}=n\overrightarrow{j}$.

Mà B(0; 4; 0) nên n = 4

Vì A’ thuộc tia Oz nên hai vectơ $\overrightarrow{OA'}$ và $\overrightarrow{k}$ cùng hướng.

Nên tồn tại số thực p sao cho $\overrightarrow{OA'}=p \overrightarrow{k}$.

Mà A’(0; 0; 3) nên p = 3

Vì ODCB là hình bình hành nên $\overrightarrow{OC}= \overrightarrow{OD}+ \overrightarrow{OB}$

$=m\overrightarrow{i}+n\overrightarrow{j}=2\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}$

Nên C(2; 4; 0).

Vì OA’B’B là hình bình hành nên $\overrightarrow{OB'}=\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OB}$

$=p\overrightarrow{k}+n\overrightarrow{j}=3\overrightarrow{k}+4\overrightarrow{j}$

Nên B’(0; 4; 3).

Vì OA’D’D là hình bình hành nên $\overrightarrow{OD'}=\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OD}$

$=m\overrightarrow{i}+p\overrightarrow{k}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{k}$.

Nên D’(2; 0; 3).

Vì ABCD. A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật nên theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{OC'}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA'}$ $=m\overrightarrow{i}+n\overrightarrow{j}+p\overrightarrow{k}$ $=2\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}$

Nên C’(2; 4; 3).