Bài 2.17 trang 65 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề bài:

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc O và các đỉnh D, B, A’ có tọa độ lần lượt là (2; 0; 0), (0; 4; 0), (0; 0; 3) (H.2.45). Xác định tọa độ của các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải bài toán, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp vector và các tính chất của hình hộp:

• Tọa độ của một điểm: Tọa độ của một điểm M chính là tọa độ của vector $\vec{OM}$.

• Quy tắc hình bình hành: Trong hình bình hành MNPQ, ta có $\vec{MN} = \vec{QP}$.

• Quy tắc hình hộp: Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D',  ta có $\vec{AC'} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA'}$.

Chúng ta sẽ sử dụng các tính chất này để tìm tọa độ các đỉnh còn lại một cách tuần tự.

Lời giải chi tiết:

Vì A trùng gốc O nên A(0; 0; 0).

Vì D thuộc tia Ox nên hai vectơ  và  cùng hướng.

Nên tồn tại số thực m sao cho 

Mà D(2; 0; 0) nên m = 2

Vì B thuộc tia Oy nên hai vectơ  và  cùng hướng.

Nên tồn tại số thực n sao cho .

Mà B(0; 4; 0) nên n = 4

Vì A’ thuộc tia Oz nên hai vectơ  và  cùng hướng.

Nên tồn tại số thực p sao cho .

Mà A’(0; 0; 3) nên p = 3

Vì ODCB là hình bình hành nên

Nên C(2; 4; 0).

Vì OA’B’B là hình bình hành nên 

Nên B’(0; 4; 3).

Vì OA’D’D là hình bình hành nên

 .

Nên D’(2; 0; 3).

Vì ABCD. A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật nên theo quy tắc hình hộp ta có:

Nên C’(2; 4; 3).