Bài 15 trang 96 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 15 trang 96 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có ba đỉnh A(– 1; 3), B(1; 2), C(4; – 2).

a) Viết phương trình đường thẳng BC.

b) Tính diện tích tam giác ABC.

c) Viết phương trình đường tròn có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng BC.

Phân Tích Hướng Dẫn Giải:

1. Phương trình $BC$ (a): Tìm vectơ chỉ phương $\overrightarrow{BC}$, suy ra vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}_{BC}$, sau đó áp dụng công thức phương trình tổng quát đi qua $B$ (hoặc $C$).

2. Diện tích $S_{ABC}$ (b): Dùng công thức $S = \frac{1}{2} \cdot h \cdot a$, với $a = BC$ và $h = d(A, BC)$.

3. Phương trình đường tròn (c): Bán kính $R$ chính bằng khoảng cách từ tâm $A$ đến đường thẳng $BC$ ($R = d(A, BC)$). Công thức đường tròn là $(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = R^2$.

Giải bài 15 trang 96 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Ta có: $\overrightarrow{BC}=(4-1;-2-2)=(3;-4)$ 

Nên đường thẳng BC có 1 vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}_{BC}=(3;-4)$

Suy ra đường thẳng BC có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}_{BC}=(4;3)$

Phương trình đường thẳng BC là 4.(x – 1) + 3(y – 2) = 0 hay 4x + 3y – 10 = 0. 

b) Ta có: $BC=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5$

Khoảng cách từ A(– 1; 3) đến đường thẳng BC: 4x + 3y – 10 = 0 là 

$d(A;BC)=\frac{|4.(-1)+3.3-10|}{\sqrt{4^2+3^2}}$ $=\frac{5}{5}=1$

Độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC chính bằng khoảng cách từ A đến đường thẳng BC. Do đó, diện tích tam giác ABC là

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.d(A;BC).BC$ $=\frac{1}{2}.1.5=\frac{5}{2}$

c) Đường tròn có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng BC có bán kính bằng khoảng cách từ A đến đường thẳng BC, do đó R = d(A, BC) = 1. 

Vậy phương trình đường tròn là (x + 1)² + (y – 3)² = 1.