Bài 12 trang 96 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 12 trang 96 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Viết khai triển nhị thức Newton của (2x – 1)ⁿ, biết n là số tự nhiên thỏa mãn $A_{n}^{2}+24C_{n}^{1}=140$

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

1. Giải Phương trình ($A_n^2 + 24C_n^1 = 140$):

   • Áp dụng công thức hoán vị $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ và tổ hợp $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

   • Điều kiện: Phương trình có nghĩa khi $n \in \mathbb{N}$ và $n \ge 2$.

2. Khai triển Nhị thức Newton: Sau khi tìm được $n$, áp dụng công thức khai triển $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$ với $a = 2x$ và $b = -1$.

Giải bài 12 trang 96 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có: $A_{n}^{2}+24C_{n}^{1}=140$  (1)

Điều kiện: n ≥ 2. 

Khi đó (1) $\Leftrightarrow \frac{n!}{(n-2)!}+24.\frac{n!}{1!(n-1)!}=140$

⇔ n(n - 1) + 24n = 140

⇔ n² – n + 24n = 140 

⇔ n² + 23n – 140 = 0 

⇔ n = 5 hoặc n = – 28.

Do đó ta có n = 5 thỏa mãn điều kiện. 

Khi đó ta có khai triển nhị thức Newton:

(2x – 1)⁵ = [2x + (– 1)]⁵ = .(2x)⁵ + .(2x)⁴ .(-1) + (2x)³ .(-1)² + (2x)²  .(-1)³ + (2x) .(-1)4 +  .(-1)⁵

= 32x⁵ – 80x⁴ + 80x³ – 40x² + 10x – 1.