Bài 13 trang 96 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 13 trang 96 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Từ các công thức tính diện tích tam giác đã được học, hãy chứng minh rằng, trong tam giác ABC, ta có

$r=\frac{\sqrt{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}{2\sqrt{a+b+c}}$

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

1. Thiết lập công thức ban đầu: Công thức liên hệ giữa diện tích $S$, nửa chu vi $p$, và bán kính nội tiếp $r$ là $S = p \cdot r$. Từ đó, suy ra $r = \frac{S}{p}$.

2. Sử dụng Công thức Heron: Thay $S$ bằng công thức Heron để biểu diễn $r$ theo $p$ và độ dài các cạnh.

3. Thay thế $p$: Biểu diễn $p$ và các hiệu $(p-a), (p-b), (p-c)$ theo $a, b, c$ để thu được biểu thức cần chứng minh.

Lưu ý: Nửa chu vi $p = \frac{a+b+c}{2}$.

Giải bài 13 trang 96 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gọi S, p lần lượt là diện tích, nửa chu vi của tam giác ABC. 

Ta có: $p=\frac{a+b+c}{2}$

Theo các công thức về diện tích tam giác, ta có:

$S=p.r=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Suy ra:

$r=\frac{S}{p}=\frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p}$

$=\sqrt{\frac{p(p-a)(p-b)(p-c)}{p^2}}$$=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$

$= \sqrt{\frac{(\frac{a+b+c}{2}-a)(\frac{a+b+c}{2}-b)(\frac{a+b+c}{2}-c)}{\frac{a+b+c}{2}}}$

$=\sqrt{\frac{\frac{b+c-a}{2}.\frac{a+c-b}{2}.\frac{a+b-c}{2}}{\frac{a+b+c}{2}}}$

$=\sqrt{\frac{1}{8}.2.\frac{(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{a+b+c}}$

$=\sqrt{\frac{(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{4(a+b+c)}}$

$=\frac{\sqrt{(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}}{2\sqrt{a+b+c}}$

Vậy ta có:

$r=\frac{\sqrt{(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}}{2\sqrt{a+b+c}}$