Bài 6.15 trang 24 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 6.15 trang 24 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) 3x² – 4x + 1; 

b) x² + 2x + 1; 

c) – x² + 3x – 2; 

d) – x² + x – 1. 

Phân tích Phương pháp Xét Dấu

Để xét dấu $f(x) = ax^2 + bx + c$, ta thực hiện các bước:

1. Tính $\Delta$ (hoặc $\Delta'$): Xác định số nghiệm của phương trình $f(x) = 0$.

2. Xét Dấu:

   • $\Delta < 0$ (vô nghiệm): $f(x)$ luôn cùng dấu với $a$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

   • $\Delta = 0$ (nghiệm kép $x_0$): $f(x)$ cùng dấu với $a$ với mọi $x \neq x_0$.

   • $\Delta > 0$ (hai nghiệm phân biệt $x_1 < x_2$): $f(x)$ cùng dấu với $a$ khi $x \in (-\infty; x_1) \cup (x_2; +\infty)$ (ngoài hai nghiệm); $f(x)$ khác dấu với $a$ khi $x \in (x_1; x_2)$ (trong khoảng hai nghiệm).

Giải bài 6.15 trang 24 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Ta có f(x) = 3x² – 4x + 1 có ∆' = (– 2)² – 3 . 1 = 1 > 0, hệ số a = 3 > 0 và có hai nghiệm phân biệt x₁ = 1/3; x₂ = 1.

Vì vậy, ta có bảng xét dấu f(x): 

⇒ f(x) > 0 với mọi $x\in \left ( -\infty ;\frac{1}{3} \right )\cup \left ( 1;+\infty \right )$ và f(x) < 0 với mọi $x\in \left ( \frac{1}{3};1 \right )$

b) f(x) = x² + 2x + 1 có ∆' = 1² – 1 . 1 = 0 và a = 1 nên f(x) có nghiệm kép x = – 1 và f(x) > 0 với mọi x ≠ – 1. 

c) f(x) = – x² + 3x – 2 có ∆ = 3² – 4 . (– 1) . (– 2) = 1 > 0, hệ số a = – 1 < 0 và có hai nghiệm phân biệt x₁ = 1; x₂ = 2.

Vì vậy, ta có bảng xét dấu f(x): 

⇒ f(x) > 0 với mọi x ∈ (1; 2) và f(x) < 0 với mọi x ∈ (– ∞; 1) ∪ (2; + ∞). 

d) f(x) = – x² + x – 1 có ∆ = 1² – 4 . (– 1) . (– 1) = – 3 < 0 và hệ số a = – 1 < 0 nên f(x) < 0 với mọi x ∈ R.