Bài 6.18 trang 24 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 6.18 trang 24 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Một vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao 320 m với vận tốc ban đầu v₀ = 20 m/s. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu giây, vật đó cách mặt đất không quá 100 m? Giả thiết rằng sức cản của không khí là không đáng kể?

Phân tích Phương pháp

1. Thiết lập Công thức Quãng đường: Vật ném xuống nên chuyển động nhanh dần đều. Công thức quãng đường $h(t)$ vật đã đi được sau $t$ giây là: 

   $h(t) = v_0 t + \frac{1}{2}gt^2$

   (Với $g \approx 10 \text{ m/s}^2$).

2. Thiết lập Bất phương trình: "Cách mặt đất không quá $100 \text{ m}$" có nghĩa là quãng đường vật đã đi được phải lớn hơn hoặc bằng $\mathbf{320 \text{ m} - 100 \text{ m} = 220 \text{ m}}$.

   $\Rightarrow h(t) \ge 220$

3. Giải Bất phương trình: Giải bất phương trình bậc hai ẩn $t$ để tìm tập giá trị của $t$.

Giải bài 6.18 trang 24 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao 320 m nên vật chuyển động nhanh dần đều. 

Độ cao so với mặt đất của vật được mô tả bởi một hàm số bậc hai h(t) = v₀t + $\frac{1}{2}$gt², trong đó v₀ = 20 m/s là vận tốc ban đầu của vật, t là thời gian chuyển động tính bằng giây, g là gia tốc trọng trường (thường lấy g ≈ 10 m/s²) và độ cao h(t) tính bằng mét.  

Khi đó ta có: h(t) = 20 . t + $\frac{1}{2}$. 10 . t² 

hay h(t) = 5t² + 20t. 

Vật ném xuống từ độ cao 320 m nên khi vật cách mặt đất không quá 100 m có nghĩa là vật đã chuyển động được quãng đường lớn hơn hoặc bằng 320 – 100 = 220 m. 

Khi đó h(t) ≥ 220 hay 5t² + 20t ≥ 220 ⇔ t² + 4t – 44 ≥ 0 (1). 

Tam thức f(t) = t² + 4t – 44 có ∆' = 2² – 1 . (– 44) = 48 > 0 nên f(t) có hai nghiệm $t_1=-2-4\sqrt{3}$ và $t_2=-2+4\sqrt{3}$

Mặt khác hệ số a = 1 > 0 nên ta có bảng xét dấu: 

Suy ra bất phương trình (1) có nghiệm $t\leq -2-4\sqrt{3}$ hoặc  $t\geq -2+4\sqrt{3}$

Mà thời gian t > 0 nên $t\geq -2+4\sqrt{3}\approx 4,93$

Vậy sau ít nhất khoảng 4,93 giây thì vật đó cách mặt đất không quá 100 m.