Bài 2.6 trang 58 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề Bài 2.6 trang 58 Toán 12:

Cho hình chóp tứ giác S. ABCD. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để chứng minh một mệnh đề dạng "P khi và chỉ khi Q", chúng ta phải chứng minh hai chiều:

1. Chiều thuận: "Nếu P thì Q"  (⇒). Tức là: Nếu ABCD là hình bình hành thì $\vec{SA} + \vec{SC} = \vec{SB} + \vec{SD}$.

2. Chiều đảo: "Nếu Q thì P" (⇐). Tức là: Nếu $\vec{SA} + \vec{SC} = \vec{SB} + \vec{SD}$ thì ABCD là hình bình hành.

Chúng ta sẽ sử dụng các quy tắc cơ bản của vector và tính chất của hình bình hành để chứng minh cả hai chiều. Mấu chốt là sử dụng quy tắc ba điểm và quy tắc trung điểm.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh họa như sau:

• Chứng minh: Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì: $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. Khi đó, O là trung điểm của AC, BD.

$\Rightarrow \overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OB}$

Ta có: 

$\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{OC}$$=2\overrightarrow{SO}+(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OA})=2\overrightarrow{SO}$

$\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}=\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{OD}$$=2\overrightarrow{SO}+(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OB})=2\overrightarrow{SO}$

Vì vậy: $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$

• Chứng minh: Nếu $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$ thì tứ giác ABCD là hình bình hành

$\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$$\Leftrightarrow \overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SD}-\overrightarrow{SC}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$

Suy ra, hai vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng hướng và có độ lớn bằng nhau.

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} AB=CD\\ AB//CD \end{matrix}\right.$

Khi đó, tứ giác ABCD là hình bình hành.

Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$