Công thức Toán ôn thi THPT Quốc Gia - Đại học: Hệ thống kiến thức trọng tâm

Kỳ thi THPT Quốc Gia vào Đại học luôn làm các em căng thẳng. Nội dung thi tập trung chủ yếu vào chương trình lớp 12, tuy nhiên khối lượng kiến thức lại tương đối nhiều và trải dài. Nhằm giúp các emhọc sinh lớp 12 ôn thi THPT quốc gia vào Đại học được tốt nhất,Hay Học Hỏisẽ hệ thống lại toàn bộ các công thức Toán thường gặp qua bài viết này để các em dễ dàng tra cứu và ghi nhớ.

I. Công thức về Tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$; $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$; $\alpha < \beta$; $S = -\frac{b}{a}$)

• $f(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} \Delta \leq 0 \\ a > 0 \end{cases}$

• $f(x) \leq 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} \Delta \leq 0 \\ a < 0 \end{cases}$

• $\alpha$ là nghiệm của $f(x) \Leftrightarrow f(\alpha) = 0$

• $x_1 < \alpha < x_2 \Leftrightarrow af(\alpha) < 0$

• $\alpha < x_1 < x_2 \Leftrightarrow \begin{cases} \Delta > 0 \\ af(\alpha) > 0 \\ \frac{S}{2} - \alpha > 0 \end{cases}$

• $x_1 < x_2 < \alpha \Leftrightarrow \begin{cases} \Delta > 0 \\ af(\alpha) > 0 \\ \frac{S}{2} - \alpha < 0 \end{cases}$

• $\begin{bmatrix} \alpha < x_1 < x_2 \\ x_1 < x_2 < \alpha \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{cases} \Delta > 0 \\ af(\alpha) > 0 \end{cases}$

• $x_1 < \alpha < \beta < x_2 \Leftrightarrow \begin{cases} af(\alpha) < 0 \\ af(\beta) < 0 \end{cases}$

• $x_1 < \alpha < x_2 < \beta \Leftrightarrow \begin{cases} af(\alpha) < 0 \\ af(\beta) > 0 \end{cases}$

• $\begin{bmatrix} x_1 < \alpha < x_2 < \beta \\ \alpha < x_1 < \beta < x_2 \end{bmatrix} \Leftrightarrow f(\alpha).f(\beta) < 0$

• $\alpha < x_1 < x_2 < \beta \Leftrightarrow \begin{cases} \Delta > 0 \\ af(\alpha) > 0 \\ af(\beta) > 0 \\ \frac{S}{2} - \alpha > 0 \\ \frac{S}{2} - \beta < 0 \end{cases}$

II. Công thức Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si)

• Với $a, b \geq 0$ thì $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$, dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b$.

• Với $a, b, c \geq 0$ thì $\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}$, dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$.

III. Công thức cấp số cộng

• Định nghĩa: Dãy số $u_1, u_2, ..., u_n, ...$ gọi là cấp số cộng có công sai $d$ nếu $u_k = u_{k-1} + d$.

• Số hạng thứ n của cấp số cộng là: $u_n = u_1 + (n - 1)d$.

• Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng: $S_n = u_1 + u_2 + ... + u_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n) = \frac{n}{2}[2u_1 + (n - 1)d]$.

IV. Công thức cấp số nhân

• Định nghĩa: Dãy số $u_1, u_2, ..., u_n, ...$ gọi là cấp số nhân có công bội $q$ nếu $u_k = u_{k-1}.q$.

• Số hạng thứ n của cấp số nhân: $u_n = u_1.q^{n-1}$.

• Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân: $S_n = u_1 + u_2 + ... + u_n = u_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}, (q \neq 1)$.

• Nếu $-1 < q < 1 \Leftrightarrow |q| < 1$ thì $\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{u_1}{1 - q}$.

V. Công thức phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

• $|A| = |B| \Leftrightarrow A = \pm B$.

• $|A| = B \Leftrightarrow \begin{cases} B \geq 0 \\ A = \pm B \end{cases}$.

• $|A| < B \Leftrightarrow \begin{cases} A < B \\ A > -B \end{cases}$.

• $|A| < |B| \Leftrightarrow A^2 < B^2$.

• $|A| > B \Leftrightarrow \begin{bmatrix} A > B \\ A < -B \end{bmatrix}$.

VI. Công thức phương trình và bất phương trình chứa căn thức

• $\sqrt{A} = \sqrt{B} \Leftrightarrow \begin{cases} A \geq 0, (B \geq 0) \\ A = B \end{cases}$.

• $\sqrt{A} = B \Leftrightarrow \begin{cases} B \geq 0 \\ A = B^2 \end{cases}$.

• $\sqrt{A} < \sqrt{B} \Leftrightarrow \begin{cases} A \geq 0 \\ A < B \end{cases}$.

• $\sqrt{A} < B \Leftrightarrow \begin{cases} A \geq 0 \\ B > 0 \\ A < B^2 \end{cases}$.

• $\sqrt{A} > B \Leftrightarrow \begin{cases} B < 0 \\ A \geq 0 \end{cases} \vee \begin{cases} B \geq 0 \\ A > B^2 \end{cases}$.

VII. Công thức phương trình, bất phương trình Logarit

• $\log_a f(x) = \log_a g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} 0 < a \neq 1 \\ f(x) > 0 \\ f(x) = g(x) \end{cases}$ hoặc $\begin{cases} 0 < a \neq 1 \\ g(x) > 0 \\ f(x) = g(x) \end{cases}$

• $\log_a f(x) > \log_a g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} 0 < a \neq 1 \\ f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \\ (a - 1)[f(x) - g(x)] > 0 \end{cases}$

VIII. Công thức phương trình và bất phương trình mũ

• $a^{f(x)} = a^{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} 0 < a \neq 1 \\ f(x) = g(x) \end{cases}$ hoặc $\{a = 1, f(x), g(x) \text{ xác định}\}$

• $a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} a > 0 \\ (a - 1)[f(x) - g(x)] > 0 \end{cases}$

IX. Công thức tính Lũy thừa

Với $a, b > 0$:

• $a^\alpha \cdot a^\beta \cdot a^\gamma = a^{\alpha + \beta + \gamma}$

• $(a^\alpha)^\beta = a^{\alpha\beta}$

• $a^\alpha \cdot b^\alpha = (ab)^\alpha$

• $\frac{a^\alpha}{b^\alpha} = (\frac{a}{b})^\alpha$

• $a^{-\alpha} = \frac{1}{a^\alpha}$

• $\sqrt[n]{a^k} = a^{\frac{k}{n}}$

• $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a^k}} = a^{\frac{k}{m \cdot n}}$

X. Công thức tính Logarit

Với $0 < N, N_1, N_2$ và $0 < a, b \neq 1$ ta có:

• $\log_a N = M \Leftrightarrow N = a^M$

• $\log_a a^M = M$

• $a^{\log_a N} = N$

• $N_1^{\log_a N_2} = N_2^{\log_a N_1}$

• $\log_a (N_1 \cdot N_2) = \log_a N_1 + \log_a N_2$

• $\log_a (\frac{N_1}{N_2}) = \log_a N_1 - \log_a N_2$

• $\log_a N^\alpha = \alpha \log_a N$

• $\log_{a^\alpha} N = \frac{1}{\alpha} \log_a N$

• $\log_a N = \frac{\log_b N}{\log_b a}$

• $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$

XI. Công thức Lượng giác

A. Các hệ thức cơ bản

• $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

• $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

• $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$

• $\tan x \cdot \cot x = 1$

• $1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$

• $1 + \cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$

B. Các cung liên kết

• $\cos(-x) = \cos x$; $\sin(-x) = -\sin x$; $\tan(-x) = -\tan x$; $\cot(-x) = -\cot x$

• $\sin(\pi - x) = \sin x$; $\cos(\pi - x) = -\cos x$; $\tan(\pi - x) = -\tan x$; $\cot(\pi - x) = -\cot x$

• $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$; $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$; $\tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cot x$; $\cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \tan x$

• $\sin(x + \pi) = -\sin x$; $\cos(x + \pi) = -\cos x$; $\tan(x + \pi) = \tan x$; $\cot(x + \pi) = \cot x$

• $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos x$; $\cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin x$; $\tan\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\cot x$; $\cot\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\tan x$

C. Công thức cộng

• $\sin(x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y$

• $\cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y$

• $\tan(x \pm y) = \frac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x \tan y}$

• $\cot(x \pm y) = \frac{\cot x \cot y \mp 1}{\cot y \pm \cot x}$

D. Công thức nhân đôi

• $\sin 2x = 2\sin x \cos x$

• $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$

• $\tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}$

E. Công thức hạ bậc

• $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

• $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$

F. Công thức biểu diễn theo $t = \tan(x/2)$

Với $t = \tan\frac{x}{2}$:

• $\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}$; $\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$; $\tan x = \frac{2t}{1 - t^2}$

G. Công thức nhân ba

• $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$

• $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$

• $\tan 3x = \frac{3\tan x - \tan^3 x}{1 - 3\tan^2 x}$

• $\cos^3 x = \frac{3\cos x + \cos 3x}{4}$

• $\sin^3 x = \frac{3\sin x - \sin 3x}{4}$

H. Biến đổi tích thành tổng

• $\cos a \cos b = \frac{1}{2}[\cos(a - b) + \cos(a + b)]$

• $\sin a \sin b = \frac{1}{2}[\cos(a - b) - \cos(a + b)]$

• $\sin a \cos b = \frac{1}{2}[\sin(a - b) + \sin(a + b)]$

• $\cos a \sin b = \frac{1}{2}[\sin(a + b) - \sin(a - b)]$

I. Biến đổi tổng thành tích

• $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x + y}{2} \cos\frac{x - y}{2}$

• $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x + y}{2} \sin\frac{x - y}{2}$

• $\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x + y}{2} \cos\frac{x - y}{2}$

• $\sin x - \sin y = 2\cos\frac{x + y}{2} \sin\frac{x - y}{2}$

• $\tan x \pm \tan y = \frac{\sin(x \pm y)}{\cos x \cos y}$

• $\cot x \pm \cot y = \frac{\sin(y \pm x)}{\sin x \sin y}$

• $\sin x \pm \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x \pm \frac{\pi}{4}\right) = \pm\sqrt{2}\cos\left(x \mp \frac{\pi}{4}\right)$

• $1 \pm \sin 2x = (\sin x \pm \cos x)^2$

XII. Công thức phương trình lượng giác

A. Công thức phương trình lượng giác cơ bản

• $\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{bmatrix}, k \in \mathbb{Z}$

  • $\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$

  • $\sin x = -1 \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi$

  • $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi$

• $\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = \alpha + k2\pi \\ x = -\alpha + k2\pi \end{bmatrix}, k \in \mathbb{Z}$

  • $\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi$

  • $\cos x = -1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi$

  • $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi$

• $\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi, (k \in \mathbb{Z})$

• $\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi, (k \in \mathbb{Z})$

B. Công thức phương trình bậc n theo một hàm số lượng giác

• Cách giải: Đặt $t = \sin x$ (hoặc $\cos x, \tan x, \cot x$) ta có phương trình: $a_n t^n + a_{n-1} t^{n-1} + ... + a_0 = 0$.

• Lưu ý: Nếu $t = \cos x$ hoặc $t = \sin x$ thì có thêm điều kiện $-1 \leq t \leq 1$.

C. Phương trình bậc nhất theo $\sin x$ và $\cos x$

• Phương trình có dạng: $a\sin x + b\cos x = c, (a.b \neq 0)$.

• Điều kiện phương trình có nghiệm: $a^2 + b^2 \geq c^2$.

• Cách giải: Chia 2 vế của phương trình cho $\sqrt{a^2 + b^2}$ và sau đó đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

D. Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với $\sin x$ và $\cos x$

• Phương trình có dạng: $a.\sin^2 x + b.\sin x.\cos x + c.\cos^2 x = 0$.

• Cách giải:

  • Xét $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ có phải là nghiệm không?

  • Xét $\cos x \neq 0$, chia 2 vế cho $\cos^2 x$ và đặt $t = \tan x$.

E. Phương trình lượng giác dạng: $a(\sin x \pm \cos x) + b.\sin x.\cos x = c$

• Cách giải: Đặt $t = \sin x \pm \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x \pm \frac{\pi}{4}\right); -\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$.

• $\Rightarrow \sin x.\cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$ hoặc $\Rightarrow \sin x.\cos x = \frac{1 - t^2}{2}$ sau đó giải phương trình bậc 2 theo $t$.

XIII. Công thức hệ thức lượng trong tam giác

A. Công thức hàm số cosin

• $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

• $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

• $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

B. Công thức hàm số sin

• $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

C. Công thức tính độ dài trung tuyến trong tam giác

• $m_a = \sqrt{\frac{b^2 + c^2}{2} - \frac{a^2}{4}}$

• $m_b = \sqrt{\frac{a^2 + c^2}{2} - \frac{b^2}{4}}$

• $m_c = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2} - \frac{c^2}{4}}$

D. Công thức tính diện tích tam giác

• $S = \frac{1}{2}a.h_a = \frac{1}{2}b.h_b = \frac{1}{2}c.h_c$

• $S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C$

• $S = p.r$; $S = \frac{abc}{4R}$

• Công thức Heron: $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$

Lưu ý: Trong đó $p$ là nửa chu vi, $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

XIV. Công thức tính Đạo hàm

A. Công thức đạo hàm các hàm cơ bản

• $(x^\alpha)' = \alpha.x^{\alpha-1}$

• $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

• $\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$

• $(\sin x)' = \cos x$

• $(\cos x)' = -\sin x$

• $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$

• $(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

• $(e^x)' = e^x$

• $(a^x)' = a^x.\ln a$

• $(\ln x)' = \frac{1}{x}$

• $(\log_a x)' = \frac{1}{x.\ln a}$

B. Công thức đạo hàm của hàm hợp

• $(u^\alpha)' = \alpha.u^{\alpha-1}.u'$

• $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$

• $\left(\frac{1}{u}\right)' = -\frac{u'}{u^2}$

• $(\sin u)' = u'.\cos u$

• $(\cos u)' = -u'.\sin u$

• $(\tan u)' = \frac{u'}{\cos^2 u}$

• $(\cot u)' = -\frac{u'}{\sin^2 u}$

• $(e^u)' = u'.e^u$

• $(a^u)' = u'.a^u.\ln a$

• $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$

• $(\log_a u)' = \frac{u'}{u.\ln a}$

XV. Công thức tính Nguyên hàm

• $\int dx = x + C$

• $\int x^\alpha dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C, (\alpha \neq -1)$

• $\int \frac{dx}{x^2} = -\frac{1}{x} + C$

• $\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C, (x \neq 0)$

• $\int e^x dx = e^x + C$

• $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C, (0 < a \neq 1)$

• $\int \cos x dx = \sin x + C$

• $\int \sin x dx = -\cos x + C$

• $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \int (1 + \tan^2 x) dx = \tan x + C$

• $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = \int (1 + \cot^2 x) dx = -\cot x + C$

XVI. Công thức diện tích hình phẳng - thể tích vật thể tròn xoay

• Viết phương trình các đường giới hạn hình phẳng để xác định cận.

• Chọn công thức để tính diện tích: * $S = \int_{a}^{b} |y_c - y_{c'}| dx$ hoặc $S = \int_{c}^{d} |x_c - x_{c'}| dy$.

• Chọn công thức để tính thể tích:

  • Hình phẳng quay quanh trục Ox: $V = \pi \int_{a}^{b} |y_c^2 - y_{c'}^2| dx$

  • Hình phẳng quay quanh trục Oy: $V = \pi \int_{c}^{d} |x_c^2 - x_{c'}^2| dy$

• Lưu ý xác định cận: Biến $x$ thì cận là $x = a; x = b$ cho trong giả thiết hoặc hoành độ các giao điểm. Biến $y$ thì cận là $y = c; y = d$ cho trong giả thiết hoặc tung độ các giao điểm.

XVII. Công thức phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

• Diện tích tam giác: Với $\vec{AB} = (a_1; a_2)$, $\vec{AC} = (b_1; b_2) \Rightarrow S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}|a_1b_2 - a_2b_1|$.

Các công thức phương trình đường thẳng $\Delta$

• Phương trình tổng quát: $Ax + By + C = 0$; (véc-tơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B), A^2 + B^2 \neq 0$).

• Phương trình tham số: $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}, (t \in \mathbb{R})$ (véc-tơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b)$ và đi qua điểm $M_0(x_0; y_0)$).

• Phương trình chính tắc: $\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b}$.

• Phương trình đoạn chắn ($\Delta$ qua $A(a;0); B(0;b)$): $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

• Công thức tính góc $\varphi$ ($0^\circ \leq \varphi \leq 90^\circ$) giữa hai đường thẳng: Cho 2 đường thẳng $Ax + By + C = 0$ và $A'x + B'y + C' = 0$.

  • $\cos \varphi = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{n}'|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{n}'|} = \frac{|AA' + BB'|}{\sqrt{A^2 + B^2} \cdot \sqrt{A'^2 + B'^2}}$.

• Khoảng cách từ điểm $M_0(x_0; y_0)$ đến đường thẳng $\Delta$: * $d(M, \Delta) = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

• Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng: * $\frac{Ax + By + C}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \pm \frac{A'x + B'y + C'}{\sqrt{A'^2 + B'^2}}$.

• Vị trí tương đối của 2 điểm so với 1 đường thẳng:

  • Đặt $t_1 = \frac{Ax_1 + By_1 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}; t_2 = \frac{A'x_2 + B'y_2 + C'}{\sqrt{A'^2 + B'^2}}$.

  • Hai điểm $M_1, M_2$ nằm cùng phía so với $\Delta \Leftrightarrow t_1.t_2 > 0$.

  • Hai điểm $M_1, M_2$ nằm khác phía so với $\Delta \Leftrightarrow t_1.t_2 < 0$.

XVIII. Các công thức đường tròn

• Phương trình đường tròn:

  • Dạng 1: Phương trình đường tròn (C) có tâm $I(a; b)$ và bán kính $R$: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

  • Dạng 2: Phương trình có dạng $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$. Với điều kiện $a^2 + b^2 - c > 0$ là phương trình đường tròn (C) có tâm $I(a; b)$ và bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 - c}$.

• Phương tích của một điểm $M_0(x_0; y_0)$ đối với một đường tròn:

  • $P_{M/(C)} = x_0^2 + y_0^2 - 2ax_0 - 2by_0 + c$.

XIX. Các công thức Elip

• Phương trình chính tắc của Elip (E): $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, (a > b); c^2 = a^2 - b^2$.

• Tiêu điểm: $F_1(-c; 0), F_2(c; 0)$.

• Đỉnh trục lớn: $A_1(-a; 0), A_2(a; 0)$.

• Đỉnh trục bé: $B_1(0; -b), B_2(0; b)$.

• Tâm sai: $e = \frac{c}{a}$.

• Phương trình đường chuẩn: $x = \pm \frac{a}{e}$.

• Phương trình tiếp tuyến của Elip tại $M(x_0; y_0) \in (E)$: $\frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1$.

• Điều kiện tiếp xúc của (E) và $(\Delta): Ax + By + C = 0$ là: $A^2a^2 + B^2b^2 = C^2$.

XX. Công thức Hypebol

• Phương trình chính tắc của Hypebol: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, c^2 = a^2 + b^2$.

• Tiêu điểm: $F_1(-c; 0), F_2(c; 0)$.

• Đỉnh: $A_1(-a; 0), A_2(a; 0)$.

• Tâm sai: $e = \frac{c}{a}$.

• Phương trình đường chuẩn: $x = \pm \frac{a}{e}$.

• Phương trình tiệm cận: $y = \pm \frac{b}{a}x$.

• Phương trình tiếp tuyến của Hypebol tại $M(x_0; y_0) \in (H)$: $\frac{x_0x}{a^2} - \frac{y_0y}{b^2} = 1$.

• Điều kiện tiếp xúc của (H) và $(\Delta): Ax + By + C = 0$ là: $A^2a^2 - B^2b^2 = C^2 (C \neq 0)$.

XXI. Công thức Parabol

• Phương trình chính tắc của Parabol (P): $y^2 = 2px$.

• Tiêu điểm: $F\left(\frac{p}{2}; 0\right)$.

• Phương trình đường chuẩn: $x = -\frac{p}{2}$.

• Phương trình tiếp tuyến với (P) tại $M(x_0; y_0) \in (P)$: $y_0y = p(x_0 + x)$.

• Điều kiện tiếp xúc của (P) và $(\Delta): Ax + By + C = 0$ là: $2AC = B^2p$.

XXII. Công thức tính tọa độ trong không gian

1. Công thức tính Tích có hướng của hai véc-tơ

• Định nghĩa: $\vec{u} = (a; b; c)$ và $\vec{v} = (a'; b'; c')$.

  • $[\vec{u}, \vec{v}] = (bc' - cb'; ca' - ac'; ab' - ba')$.

• Các bài tập vận dụng:

  • $\vec{u}, \vec{v}$ cùng phương $\Leftrightarrow [\vec{u}, \vec{v}] = \vec{0}$.

  • $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ đồng phẳng $\Leftrightarrow [\vec{u}, \vec{v}] \cdot \vec{w} = 0$.

  • Diện tích tam giác: $S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} |[\vec{AB}, \vec{AC}]|$.

  • Thể tích tứ diện: $ABCD$ là tứ diện $\Leftrightarrow [\vec{AB}, \vec{AC}] \cdot \vec{AD} = m, (m \neq 0); V_{ABCD} = \frac{1}{6}|m|$.

2. Công thức mặt phẳng trong không gian

• Phương trình tổng quát: $Ax + By + Cz + D = 0$. Véc-tơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C)$.

• Phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ (đi qua $A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)$).

• Góc giữa hai mặt phẳng: $\cos \varphi = \frac{|AA' + BB' + CC'|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \cdot \sqrt{A'^2 + B'^2 + C'^2}}$.

• Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng: $d[M_0, (\alpha)] = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

3. Công thức phương trình đường thẳng trong không gian

• Phương trình chính tắc: $\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$.

• Phương trình tham số: $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}, (t \in \mathbb{R})$.

• Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng $\Delta$ (VTCP $\vec{u}$, qua M): $d(A, \Delta) = \frac{|[\vec{u}, \vec{MA}]|}{|\vec{u}|}$.

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: $d(\Delta, \Delta') = \frac{|[\vec{u}, \vec{v}] \cdot \vec{MM'}|}{|[\vec{u}, \vec{v}]|}$.

4. Công thức Phương trình mặt cầu

• Dạng 1: $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$ (tâm $I(a;b;c)$, bán kính $R$).

• Dạng 2: $x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$. Bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$.

• Tương giao với mặt phẳng: Bán kính đường tròn giao tuyến $r = \sqrt{R^2 - d^2}$ (với $d$ là khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng).

XXIII. Công thức Chỉnh hợp, Tổ hợp, Giai thừa và Nhị thức Newton

• Tính chất tổ hợp: $C_n^n = C_n^0 = 1; C_n^k = C_n^{n-k}; C_n^{k-1} + C_n^k = C_{n+1}^k$.

• Công thức tổ hợp: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n - k)!}$

• Công thức chỉnh hợp: $A_n^k = \frac{n!}{(n - k)!}$

• Công thức tính giai thừa: $P_n = n! = n(n - 1)(n - 2)...2.1$

• Nhị thức Newton:

  • $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$

  • $(1 + x)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^k$

  • $(1 - x)^n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k x^k$