Bài 2 trang 20 Toán 12 tập 1 Cánh Diều

Đề bài:

Tìm giá trị lớn nhất của mỗi hàm số sau:

a) 

b)  trên nửa khoảng (0; 3]

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để tìm giá trị lớn nhất của một hàm số, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Tính đạo hàm f′(x).

3. Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình f′(x)=0.

4. Lập bảng biến thiên để xét chiều biến thiên của hàm số.

5. Kết luận về giá trị lớn nhất của hàm số trên tập xác định hoặc trên đoạn đã cho.

Lời giải chi tiết:

a) Tìm giá trị lớn nhất của $f(x) = \frac{4}{1 + x^2}$

• Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

• Đạo hàm: $f'(x) = \frac{-8x}{(1 + x^2)^2}$. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$.

• Bảng biến thiên:

  • Khi x > 0, f'(x) < 0. Hàm số nghịch biến.

  • Khi x < 0, f'(x) > 0. Hàm số đồng biến.

  • Giá trị của hàm số tại x=0 là $f(0) = \frac{4}{1+0^2} = 4$.

  • Giới hạn khi $x \to \pm \infty$: $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{4}{1+x^2} = 0$.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số là 4 tại x = 0.

b)  trên nửa khoảng (0; 3]

• Tập xác định: D = (0; 3].

• Đạo hàm: $f'(x) = 1 + \frac{3}{x^2}$. Vì $x \in (0; 3]$, nên $x^2 > 0$. Do đó, $f'(x) = 1 + \frac{3}{x^2} > 0$ trên khoảng (0; 3]. Hàm số đồng biến trên nửa khoảng (0; 3].

• Giá trị của hàm số tại các mút:

  • Giới hạn

    khi $x \to 0^+$: $\lim_{x \to 0^+}(x - \frac{3}{x}) = 0 - (+\infty) = -\infty$.

  • Giá trị tại $x=3$: $f(3) = 3 - \frac{3}{3} = 2$.

• Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số trên nửa khoảng (0; 3] là 2 tại x = 3.