Bài 4 trang 64 Toán 12 tập 1 Cánh Diều

Đề bài:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi G là trọng tâm của tam giác AB'D'. Chứng minh 

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để chứng minh $\vec{A'C}=3\vec{A'G}$, ta sẽ bắt đầu từ công thức vectơ liên quan đến trọng tâm $G$, sau đó sử dụng các tính chất của hình hộp để đơn giản hóa biểu thức.

1. Sử dụng Công thức Trọng tâm:

   • Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $AB'D'$, ta có thể biểu diễn vectơ $\vec{A'G}$ qua ba đỉnh của tam giác $AB'D'$ và điểm gốc $A'$:

     $$\vec{A'G}=\frac{1}{3}(\vec{A'A}+\vec{A'B'}+\vec{A'D'})$$

2. Áp dụng Quy tắc Hình hộp:

   • Trong hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$, tổng ba vectơ chung đỉnh $A'$ đi theo ba cạnh kề bằng vectơ đường chéo xuất phát từ đỉnh đó:

     $$\vec{A'A}+\vec{A'B'}+\vec{A'D'}=\vec{A'C}$$

3. Thay thế và Kết luận:

   • Thay kết quả từ Quy tắc hình

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh họa như sau:

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $AB'D'$ nên với điểm $A'$, ta luôn có:

Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp nên $\vec{A'A}+\vec{A'B'}+\vec{A'D'}=\vec{A'C}$ (quy tắc hình hộp).

Từ đó suy ra $\vec{A'G}=\frac{1}{3}\vec{A'C}$.

Vậy $\vec{A'C}=3\vec{A'G}$.