Các dạng bài tập về tỉ số lượng giác của góc nhọn - Toán lớp 9

09:41:0114/10/2020

Để giải các bài tập về tỉ số lượng giác của góc nhọn điều trước tiên là các em cần ghi nhớ các công thức lượng giác này, việc làm nhiều bài tập cũng sẽ giúp các em ghi nhớ lâu hơn.

Bài viết này chúng ta cùng hệ thống lại một số công thức về tỉ số lượng giác của góc nhọn và đặc biệt vận dụng các công thức này để giải các bài tập liên quan để rèn kỹ năng giải toán vận dụng công thức.

1. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

tỉ số lượng giác của góc nhọn • sinα = cạnh đối/cạnh huyền $\Leftrightarrow sin\alpha =\frac{AB}{BC}$

• cosα = cạnh kề/cạnh huyền $\Leftrightarrow cos\alpha =\frac{AC}{BC}$

• tanα = cạnh đối/cạnh kề $\Leftrightarrow tan\alpha =\frac{AB}{AC}$

• cotα = cạnh kề/cạnh đối $\Leftrightarrow cot\alpha =\frac{AC}{AB}$

* Cách nhớ gợi ý: Sin = Đối/Huyền; Cos = Kề/Huyền; Tan = Đối/Kề; Cot - Kề/Đối nên cách nhớ như sau: Sin Đi Học, Cos Không Hư, Tan Đoàn Kết, Cot Kết Đoàn.

Ngoài ra khi giải các bài tập về tỉ số lượng giác của góc nhọn các em cũng sẽ vận dụng các công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông.

2. Các dạng bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn

° Dạng 1: Tính các tỉ số lượng giác của góc

* Ví dụ 1 (Bài 15 trang 77 SGK Toán 9 Tập 1): Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết cosB = 0,8, hãy tính các tỉ số lượng giác của góc C.

* Lời giải:

- Ta có: Góc B và góc C là 2 góc phụ nhau, tức là:

∠B + ∠C = 90^o nên sinC = cosB = 0,8

- Từ công thức sin²C + cos²C = 1 ta suy ra:

$cosC=\sqrt{1-sin^2C}$ (do góc C nhọn nên sinC, cosC >0).

$\Rightarrow cosC=\sqrt{1-0,8^2}=\sqrt{1-0,64}=\sqrt{0,36}=0,6$

- Lại có: $tanC=\frac{sinC}{cosC}=\frac{0,8}{0,6}=\frac{4}{3}$

$cotC=\frac{cosC}{sinC}=\frac{0,6}{0,8}=\frac{3}{4}=0,75$

- Vật sinC = 0,8; cosC = 0,6; tanC = 4/3; cotC = 0,75.

* Ví dụ 2 (Bài 16 trang 77 SGK Toán 9 Tập 1): Cho tam giác vuông có một góc 60^o và cạnh huyền có độ dài là 8. Hãy tìm độ dài của cạnh đối diện với góc 60^o.

Bài 16 trang 77 sgk toán 9 tập 1 * Lời giải:

- Như minh họa hình trên, cạnh đối diện với góc 60⁰ là AC, ta có:

$sinB=\frac{AC}{BC}\Rightarrow AC=BC.sinB=8.sin60^0=8.\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$

* Ví dụ (Bài 17 trang 77 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm x trong hình:

Bài 17 trang 77 sgk toán 9 tập 1 * Lời giải:

- Ta ký hiệu như hình trên.

- Vì ∠B = 45^onên ∠HAB = 90^o - 45^o= 45^o(góc B, và góc HAB phụ nhau trong tam giác vuông ABH)

Suy ra tam giác ABH là tam giác vuông cân tại H, nên AH = HB = 20

- Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông AHC có:

x² = AH² + HC² = 20² + 21² = 841

$\Rightarrow x=\sqrt{841}=29$

° Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức

* Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) cos⁴α - sin⁴α = cos²α - sin²α

b) sin⁴α + cos²α.sin²α + sin²α = 2sin²α

* Lời giải:

a) cos⁴α - sin⁴α = cos²α - sin²α

- Ta biến đổi vế phải của đẳng thức:

VP = cos⁴α - sin⁴α = (cos²α)² - (sin²α)²

= (cos²α - sin²α)(sin²α + cos²α)

=(cos²α - sin²α).1 = cos²α - sin²α = VT

→ Vậy đẳng thức được chứng minh.

b) sin⁴α + cos²α.sin²α + sin²α = 2sin²α

- Ta có:

VP = sin⁴α + cos²α.sin²α + sin²α

= sin²α.(sin²α + cos²α + 1)

= sin²α.(1 + 1) = 2.sin²α = VT

→ Vậy đẳng thức được chứng minh.

* Ví dụ 2: Tam giác nhọn ABC có diện tích S, đường cao AH = h. Cho biết S = h², Chứng minh rằng cot⁡B + cot⁡C = 2. chứng minh đẳng thức * Lời giải:

- Theo công thức tính diện tích tam giác thì: $S=\frac{1}{2}BC.AH=\frac{1}{2}BC.h$

- Theo bài ra thì S_ABC = h² nên ta có: $S=\frac{1}{2}BC.h=h^{2}\Rightarrow BC=2h$

- Mà $cotB=\frac{BH}{AH};\: cotC=\frac{CH}{AH}$

$\Rightarrow cotB+cotC=\frac{BH}{AH}+\frac{CH}{AH}=\frac{BC}{AH}=\frac{2h}{h}=2$

→ Vậy ta có điều phải chứng minh.

° Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức

* Ví dụ : Tính giá trị của các biểu thức sau mà không dùng bảng số hoặc máy tính

a) A = sin²15⁰ + sin²25⁰ + sin²35⁰ + sin²45⁰ + sin²55⁰ + sin²65⁰ + sin²75⁰

b) B = 4cos²α - 3sin²α với cosα = 4/7.

* Lời giải:

a) A = sin²15⁰ + sin²25⁰ + sin²35⁰ + sin²45⁰ + sin²55⁰ + sin²65⁰ + sin²75⁰

=(sin²15⁰ + sin²75⁰) + (sin²25⁰ + sin²65⁰ ) + (sin²35⁰ + sin²55⁰) + sin²45⁰

= (sin²15⁰ + cos²15⁰) + (sin²25⁰ + cos²25⁰ ) + (sin²35⁰ + cos²35⁰ ) + sin²45⁰

= 1 + 1 + 1 + 1/2 = 7/2

b) B = 4cos²α - 3sin²α với cosα = 4/7

- Ta có: sin²α + cos²α = 1

⇔ sin²α = 1 - cos²α = 1 - (4/7)² = 33/49

- Suy ra: B = 4cos²α - 3sin²α = 4.(16/49) - 3.(33/49) = -5/7.

° Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc giá trị của góc nhọn

* Ví dụ: Chứng minh giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các góc nhọn α, β

a) cos²α.cos²β + cos²α.sin²β + sin² α

b) 2(sin⁡α - cos⁡α)² - (sin⁡α + cos⁡α)² + 6sin⁡α.cos⁡α

c) (tan⁡α - cot⁡α)² - (tan⁡α + cot⁡α)²

* Lời giải:

a) cos²α.cos²β + cos² α.sin²β + sin²α

= cos²α(cos²β + sin²β) + sin²α

= cos²α.1 + sin²α = 1

b) 2(sin⁡α - cos⁡α)² - (sin⁡α + cos⁡α)² + 6 sin⁡α.cos⁡α

= 2(sin²α + cos²α - 2sinα.cos⁡α) - (sin²α + cos²α + 2sinα.cos⁡α) + 6sinα.cos⁡α

= 2(1 - 2sinα.cos⁡α) - (1 + 2sinα.cos⁡α) + 6sinα.cos⁡α

= 1 - 6sinα.cos⁡α + 6sinα.cos⁡α = 1

c) (tan⁡α - cot⁡α)² - (tan⁡α + cot⁡α)²

= (tan²α - 2.tan⁡α.cotα + cot²α) - (tan²α + 2tan⁡α.cotα + cot²α)

= -4 tan⁡α.cotα = -4.1 = -4

+ Nếu không khai triển dạng hẳng đẳng thức dạng (A-B)² và (A+B)² như trên, các em có thể sử dụng dạng A² - B² = (A - B)(A + B), khi đó:

(tan⁡α - cot⁡α)² - (tan⁡α + cot⁡α)²

= [(tan⁡α - cot⁡α) - (tan⁡α + cot⁡α)][(tan⁡α - cot⁡α) + (tan⁡α + cot⁡α)]

= (-2cot⁡α).(2tan⁡α) = -4.cot⁡α.tan⁡α = -4.1 = -4.

Như vậy, với việc hệ thống lại lý thuyết về tỉ số lượng giác của góc nhọn, qua đó vận dụng các công thức lượng giác này vào giải các bài tập minh họa ở trên, hy vọng sẽ giúp các em ghi nhớ được công thức, biết cách vận dụng giải các dạng bài tập liên quan và giúp quá trình tiếp thu các bài học tiếp theo được tốt hơn. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để $\small hayhochoi.vn$ ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.

Các dạng bài tập về tỉ số lượng giác của góc nhọn - Toán lớp 9

Tags:

Đánh giá & nhận xét