Bài tập về đồ thị hàm số bậc hai, các dạng toán và cách giải - Toán lớp 9

Bài viết này chúng ta cùng hệ thống lại một số kiến thức về hàm số bậc hai ở lớp 9, đặc biệt tập trung vào phần Bài tập về đồ thị của hàm số bậc hai để các em nắm vững được phương pháp giải dạng toán này.

I. Hàm số bậc hai - kiến thức cần nhớ

• Tổng quát, hàm số bậc hai y = ax² (a≠0) xác định với mọi giá trị của x∈R.

1. Tính chất của hàm số bậc hai y = ax²

• Nếu a>0 thì hàm số nghịch biến khi x<0 và đồng biến khi x>0.

• Nếu a<0 thì hàm số đồng biến khi x<0 và nghịch biến khi x>0.

> Nhận xét:

• Nếu a>0 thì y>0 với mọi x≠0; y=0 khi x=0. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là y=0.

• Nếu a<0 thì y<0 với mọi x≠0; y=0 khi x=0. Giá trị lớn nhất của hàm số là y=0.

2. Đồ thị của hàm số y = ax²

• Đồ thị của hàm số y = ax² (a≠0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận
trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một Parabol với đỉnh O.

• Nếu a>0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.

• Nếu a<0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.

3. Vị trí tương đối của đường thẳng và parabol

• Cho đường thẳng (d): y=ax+b (a≠0) và parabol (P): y = kx² (k≠0)

Khi đó, để xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và parabol (P) ta xét phương trình: kx² = ax + b (1).

- Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì (P) và (d) không giao nhau.

- Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

- Nếu phương trình (1) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau

• Một số dạng bài tập về vị trí tương đối của (d) và (P):

* Tìm số giao điểm của (d) và (P)

Khi đó: Xét phương trình kx² = ax + b (1)

- Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì (P) và (d) không giao nhau.

- Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

- Nếu phương trình (1) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau

- Hoành độ giao điểm (hoặc tiếp điểm) của (P) và (d) chính là nghiệm của phương trình: kx² = ax + b

* Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)

- Tọa độ giao điểm của (d) và (P) phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình (1)

- Ta giải phương trình (1) tìm ra các giá trị của x. Thay giá trị x này vào công thức hàm số của (d) (hoặc (P)) ta tìm được y. Từ đó suy ra tọa độ giao điểm cần tìm.

* Hàm số chứa tham số. Tìm điều kiện của tham số để tọa độ giao điểm thỏa mãn điều kiện cho trước.

- Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) từ đó tính biệt thức delta và hệ thức Vi-et để giải bài toán với điều kiện cho sẵn.

II. Bài tập hàm số bậc hai có lời giải

* Bài tập 1 (Bài 54 trang 63 SGK Toán 9 Tập 2): Vẽ đồ thị của hai hàm số  và  trên cùng một hệ trục tọa độ.

a) Đường thẳng đi qua B(0; 4) và song song với trục Ox. Nó cắt đồ thị của hàm số tại hai điểm M và M'. Tìm hoành độ của M và M'.

b) Tìm trên đồ thị của hàm số điểm N có cùng hoành độ với M, điểm N' có cùng hoành độ với M'. Đường thẳng NN' có song song với Ox không? Vì sao? Tìm tung độ của N và N' bằng hai cách:

- Ước lượng trên hình vẽ;

- Tính toán theo công thức.

* Lời giải:

a) Ta lập bảng giá trị:

- Bảng giá trị:

Đồ thị hàm số có dạng như sau:

a) Đường thẳng qua B(0; 4) song song với Ox có dạng: y=4. Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y=4 và đồ thị hàm số  là:

- Từ đó ta có hoành độ của M là x = 4 của M' là x = -4.

b) Trên đồ thị hàm số  ta xác định được điểm N và N' có cùng hoành độ với M,M'. Ta được đường thẳng M,M'. Ta được đường thẳng NN'//Ox.

Tìm tung độ của N và N'

- Ước lượng trên hình vẽ được tung độ của N là y = -4; của N' là y = -4.

- Tính toán theo công thức:

Điểm N(4;y) thay x = 4 vào  nên được y_N = -4.

Điểm N'(-4;y) thay x = -4 vào  nên được y_N' = -4.

Vậy tung độ của N, N' cùng bằng -4. Ta có: N(-4;-4) ; N’(4;-4).

* Bài tập 2: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hàm số: y = f(x) = (m - 1)x²  (*)

a) Xác định m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm M(2;4)

b) Với m=0. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số (*) với đồ thị hàm số y = 2x - 3.

* Lời giải:

a) Để đồ thị hàm số y = f(x) = (m - 1)x² đi qua điểm M(2;4) thì ta có:

 4 = (m - 1).2² ⇔ 4 = 4m - 4 ⇔ 4m = 8 ⇔ m = 2.

Vậy với m = 2 thì đồ thị hàm số (*) đi qua điểm (2;4). Khi đó hàm số là y = x².

 b) với m = 0, ta thay vào công thức hàm số được y = f(x)  = -x²

- Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = -x² với hàm số y = 2x - 3 là nghiệm của hệ phương trình:

- Giải phương trình: x² + 2x - 3 = 0 ta thấy

 a + b + c = 1 + 2 + (-3) = 0 nên phương trình này có 2 nghiệm phân biệt x₁ = 1; x₂ = -3.

• Với x₁ = 1 ⇒ y₁ = -(1)² = -1 ⇒ A(1;-1)

• Với x₂ = -3 ⇒ y₂ = -(-3)² = -9 ⇒ B(-3;-9)

Vậy với m=0 thì đồ thị hàm số y = -x² và đồ thị hàm số y = 2x - 3 tại 2 điểm phân biệt là: A(1;-1) và B(-3;-9).

* Bài tập 3: Co parabol (P): y = ax² và đường thẳng (d): 

a) Xác định a để (P) cắt (d) tại điểm A có hoành độ bằng -1.

b) Tìm tọa độ giao điểm thứ hai B (B khác A) của (P) và (d).

c) Tính độ dài AB.

* Lời giải:

a) Để đường thẳng (d) đi qua A có hoành độ bằng -1 thì ta thay x = -1 vào công thức hàm số  được: 

Vậy tọa độ điểm A là (-1;0,5).

Parabol (P) đi qua A nên tọa độ của A phải thỏa hàm số y = ax². Ta thay x = -1; y = 0,5 vào hàm số y = ax² được:

 0,5 = a.(-1)² ⇒ a = 0,5. Khi đó parabol (P) là: 

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

Để ý a - b + c = 1 - (-2) - 3 = 0 nên ta thấy phương trình có 2 nghiệm x₁ = -1 và x₂ = 3.

Với x₂ = 3 ⇒ y₂ = 3 + 3/2 = 9/2 = 4,5.

⇒ Tọa độ điểm B là (3;4,5).

c) Ta có, chiều dài AB áp dụng công thức

 Vậy 

* Bài tập 4: Trong hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P):  và đường thẳng (d): . Gọi M(x₁;y₁) và N(x₂;y₂) là giao điểm của (P) và (d). Hãy tính giá trị biểu thức .

* Lời giải:

- Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:  

Với x₁ = 2 ⇒ y₁ = 2 ⇒ M(2;2)

Với x₂ =-3/2 ⇒ y₂ = 9/8 ⇒ N(-3/2;9/8)

Vậy 

* Bài tập 5: Cho Parabol (P) : y = x² và đường thẳng (d) : y = (2m - 1)x - m + 2 (m là tham số)

a) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng d luôn cắt P) tại hai điểm phân biệt.

b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d luôn cắt P) tại hai điểm phân biệt M(x₁;y₁) và N(x₂;y₂) thỏa x₁y₁ + x₂y₂ = 0.

* Bài tập 6: Cho parabol (P) : y = x² và đường thẳng (d) : y = 2mx - 4m (với m là tham số)

a) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m=-1/2

b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có
hoành độ x₁; x₂ thỏa mãn |x₁| + |x₂| = 3.

* Bài tập 7: Cho parabol (P):  và đường thẳng (d): ax + y = 1.

a) Chứng minh rằng (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B.

b) Xác định a để AB độ dài ngắn nhất và tính độ dài ngắn nhất này.

* Bài tập 8: Cho parabol (P):  và đường thẳng (d): y = mx + n. Xác định m, n để đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = -2x + 5 và có duy nhất một điểm chung với (P).