[Đầy đủ] Bài tập về đồ thị hàm số bậc hai, các dạng toán và cách giải Toán 9

Bài viết này chúng ta cùng hệ thống lại một số kiến thức về hàm số bậc hai ở lớp 9, đặc biệt tập trung vào phầnBài tập về đồ thị của hàm số bậc haiđể các em nắm vững được phương pháp giải dạng toán này.

I. Hàm số bậc hai - Kiến thức cần nhớ

1. Tính chất của hàm số bậc hai $y = ax^2$

• Tổng quát, hàm số bậc hai $y = ax^2$ ($a \neq 0$) xác định với mọi giá trị của $x \in \mathbb{R}$.

• Nếu $a > 0$: Hàm số nghịch biến khi $x < 0$ và đồng biến khi $x > 0$.

• Nếu $a < 0$: Hàm số đồng biến khi $x < 0$ và nghịch biến khi $x > 0$.

Nhận xét:

• Nếu $a > 0$ thì $y > 0$ với mọi $x \neq 0; y=0$ khi $x=0$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $y=0$.

• Nếu $a < 0$ thì $y < 0$ với mọi $x \neq 0; y=0$ khi $x=0$. Giá trị lớn nhất của hàm số là $y=0$.

2. Đồ thị của hàm số $y = ax^2$

• Đồ thị của hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một Parabol với đỉnh$O$. 

• Nếu$a > 0$thì đồ thị nằm phía trên trục hoành,$O$là điểm thấp nhất của đồ thị. 

• Nếu$a < 0$thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành,$O$là điểm cao nhất của đồ thị. 

3. Vị trí tương đối của đường thẳng và Parabol

Cho đường thẳng $(d): y=ax+b$ ($a \neq 0$) và parabol $(P): y = kx^2$ ($k \neq 0$). Để xét vị trí tương đối, ta xét phương trình hoành độ giao điểm: $kx^2 = ax + b$ (1).

• Nếu (1) vô nghiệm: $(P)$ và $(d)$ không giao nhau.

• Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt: $(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

• Nếu (1) có nghiệm kép: $(P)$ và $(d)$ tiếp xúc nhau.

II. Bài tập hàm số bậc hai có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Vẽ đồ thị

Vẽ đồ thị của hai hàm số $y=\frac{1}{4}x^2$ và $y=-\frac{1}{4}x^2$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

• a) Đường thẳng đi qua $B(0; 4)$ và song song với trục $Ox$. Nó cắt đồ thị của hàm số $y=\frac{1}{4}x^2$ tại hai điểm $M$ và $M'$. Tìm hoành độ của $M$ và $M'$.

• b) Tìm trên đồ thị của hàm số điểm $N$ có cùng hoành độ với $M$, điểm $N'$ có cùng hoành độ với $M'$. Đường thẳng $NN'$ có song song với $Ox$ không? Tìm tung độ của $N$ và $N'$.

Lời giải:

• Bảng giá trị:

Đồ thị hàm số có dạng như sau:

a) Đường thẳng qua $B(0;4)$ song song với $Ox$ có dạng: $y=4$. Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{1}{4}x^2 = 4 \Leftrightarrow x^2=16 \Leftrightarrow x=\pm 4$.

Vậy hoành độ của $M$ là $x = 4$ và $M'$ là $x = -4$.

b) Trên đồ thị hàm số y=-\frac{1}{4}x^2 ta xác định được điểm N và N' có cùng hoành độ với M,M'. Ta được đường thẳng M,M'. Ta được đường thẳng NN'//Ox.

Tìm tung độ của N và N'

- Ước lượng trên hình vẽ được tung độ của N là y = -4; của N' là y = -4.

- Tính toán theo công thức:

Điểm N(4;y) thay x = 4 vào y=-\frac{1}{4}x^2 nên được y_N = -4.

Điểm N'(-4;y) thay x = -4 vào y=-\frac{1}{4}x^2 nên được y_N' = -4.

Vậy tung độ của N, N' cùng bằng -4. Ta có: N(-4;-4) ; N’(4;-4).

Bài tập 2: Xác định m

Cho hàm số: $y = f(x) = (m - 1)x^2$.

a) Xác định $m$ để đồ thị đi qua $M(2;4)$.

b) Với $m=0$, tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với $y = 2x - 3$.

Lời giải:

a) Để đồ thị hàm số y = f(x) = (m - 1)x² đi qua điểm M(2;4) thì ta có:

 4 = (m - 1).2² ⇔ 4 = 4m - 4 ⇔ 4m = 8 ⇔ m = 2.

Vậy với m = 2 thì đồ thị hàm số (*) đi qua điểm (2;4). Khi đó hàm số là y = x².

 b) với m = 0, ta thay vào công thức hàm số được y = f(x)  = -x²

- Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = -x² với hàm số y = 2x - 3 là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} y=-x^2\\ y=2x-3 \end{matrix}\right.$

Nên có: $\left\{\begin{matrix} y=-x^2\\ -x^2=2x-3 \end{matrix}\right.$

Suy ra: $ \left\{\begin{matrix} y=-x^2\\ x^2+2x-3=0 \end{matrix}\right.$

- Giải phương trình: x² + 2x - 3 = 0 ta thấy

 a + b + c = 1 + 2 + (-3) = 0 nên phương trình này có 2 nghiệm phân biệt x₁ = 1; x₂ = -3.

• Với x₁ = 1 ⇒ y₁ = -(1)² = -1 ⇒ A(1;-1)

• Với x₂ = -3 ⇒ y₂ = -(-3)² = -9 ⇒ B(-3;-9)

Vậy với m=0 thì đồ thị hàm số y = -x² và đồ thị hàm số y = 2x - 3 tại 2 điểm phân biệt là: A(1;-1) và B(-3;-9).

Bài tập 3: Tìm giao điểm

Cho $(P): y = ax^2$ và $(d): y=x+\frac{3}{2}$.

a) Xác định $a$ để $(P)$ cắt $(d)$ tại $A$ có hoành độ $-1$.

b) Tìm giao điểm thứ hai $B$.

c) Tính độ dài $AB$.

Lời giải:

a) Để đường thẳng (d) đi qua A có hoành độ bằng -1 thì ta thay x = -1 vào công thức hàm số $y=x+\frac{3}{2}$ được: $y=-1+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}=0,5$

Vậy tọa độ điểm A là (-1;0,5).

Parabol (P) đi qua A nên tọa độ của A phải thỏa hàm số y = ax². Ta thay x = -1; y = 0,5 vào hàm số y = ax² được:

 0,5 = a.(-1)² ⇒ a = 0,5. Khi đó parabol (P) là: y=\frac{1}{2}x^2

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

$\frac{1}{2}x^2=x+\frac{3}{2}\Leftrightarrow x^2-2x-3=0$

Để ý a - b + c = 1 - (-2) - 3 = 0 nên ta thấy phương trình có 2 nghiệm x₁ = -1 và x₂ = 3.

Với x₂ = 3 ⇒ y₂ = 3 + 3/2 = 9/2 = 4,5.

⇒ Tọa độ điểm B là (3;4,5).

c) Ta có, chiều dài AB áp dụng công thức

$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} =\sqrt{(3-(-1))^2+(4,5-0,5)^2} $

 Vậy $AB =\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$

Bài tập 4: Tìm giá trị biểu thức

Trong hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P): $y=\frac{1}{2}x^2$ và đường thẳng (d): $y=\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$. Gọi M(x₁;y₁) và N(x₂;y₂) là giao điểm của (P) và (d). Hãy tính giá trị biểu thức $T=\frac{x_1+x_2}{y_1+y_2}$

Lời giải:

- Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:  

$\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}\Leftrightarrow 2x^2-x-6=0$ $\Leftrightarrow (2x+3)(x-2)=0\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=2\\ x=-\frac{3}{2} \end{matrix} \right.$

Với x₁ = 2 ⇒ y₁ = 2 ⇒ M(2;2)

Với x₂ =-3/2 ⇒ y₂ = 9/8 ⇒ N(-3/2;9/8)

Vậy $T=\frac{x_1+x_2}{y_1+y_2}=\frac{2-\frac{3}{2}}{2+\frac{9}{8}}=\frac{4}{25}$

III. Hệ thống bài tập vận dụng (HS tự giải)

Bài tập 5: Tìm m để d luôn cắt P

Cho Parabol (P) : y = x² và đường thẳng (d) : y = (2m - 1)x - m + 2 (m là tham số)

a) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng d luôn cắt P) tại hai điểm phân biệt.

b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d luôn cắt P) tại hai điểm phân biệt M(x₁;y₁) và N(x₂;y₂) thỏa x₁y₁ + x₂y₂ = 0.

Bài tập 6: Tìm giao điểm

Cho parabol (P) : y = x² và đường thẳng (d) : y = 2mx - 4m (với m là tham số)

a) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m=-1/2

b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có
hoành độ x₁; x₂ thỏa mãn |x₁| + |x₂| = 3.

Bài tập 7: Chứng minh d luôn cắt P

Cho parabol (P): y=\frac{1}{2}x^2 và đường thẳng (d): ax + y = 1.

a) Chứng minh rằng (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B.

b) Xác định a để AB độ dài ngắn nhất và tính độ dài ngắn nhất này.

Bài tập 8: Xác định m,n để d tiếp xúc P

Cho parabol (P): y=-\frac{1}{2}x^2 và đường thẳng (d): y = mx + n. Xác định m, n để đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = -2x + 5 và có duy nhất một điểm chung với (P).