Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối có tham số m (dễ hiểu nhât - Toán 9 chuyên đề

Bài viết này sẽ hướng dẫn các em hệ thống lại kiến thức và cách giải các dạng toán này một cách dễ hiểu nhất.

I. Tổng hợp các phương pháp và công thức cần nhớ

Để giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, các em cần ghi nhớ các định nghĩa và công thức biến đổi sau:

1. Các công thức biến đổi cơ bản

• Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối của biểu thức $A$ bằng $A$ nếu $A$ không âm, và bằng $-A$ nếu $A$ âm. 

  

• Dạng $|A| = B$: * Cách 1: Xét hai trường hợp của $A$. Trường hợp 1 là $A \geq 0$ và $A = B$. Trường hợp 2 là $A < 0$ và $-A = B$.

  • Cách 2: Đặt điều kiện $B \geq 0$. Khi đó phương trình dẫn đến $A = B$ hoặc $A = -B$.

• Dạng $|A| = |B|$: Phương trình dẫn đến hai khả năng là $A = B$ hoặc $A = -B$.

• Dạng tổng trị tuyệt đối: $|A| + |B| = 0$ xảy ra khi và chỉ khi cả $A = 0$ và $B = 0$.

• Liên hệ căn thức: Căn bậc hai của $A^2$ chính bằng giá trị tuyệt đối của $A$.

2. Phương pháp giải phổ biến

• Dùng định nghĩa: Chia các khoảng giá trị của ẩn số để phá dấu giá trị tuyệt đối.

  $|A(x)|=\begin{cases}A(x)&\text{khi}\;A(x)\ge 0\\-A(x)&\text{khi}\;A(x)<0\end{cases}$

• Bình phương hai vế: Áp dụng khi biết chắc chắn hai vế của phương trình không âm.

  Áp dụng khi cả hai vế của phương trình đều không âm.

  $|A(x)|=B(x)$ khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix}B(x)\ge 0\\(A(x))^2=(B(x))^2\end{matrix}\right.$

  $|A(x)|=|B(x)|$ khi và chỉ khi $(A(x))^2=(B(x))^2$

• Đặt ẩn phụ: Sử dụng khi phương trình có sự lặp lại của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.

II. Giải các dạng phương trình giá trị tuyệt đối cơ bản

1. Giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối dạng |A(x)| = b (b≥0); |A(x)| = B(x)

a) Cách giải phương trình dạng |A(x)| = b (b≥0)

 $|A(x)|=b$ khi và chỉ khi $A(x)=b$ hoặc $A(x)=-b$

* Ví dụ:Giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối sau: |2x + 3| = 5

* Lời giải:

Ta có: $|2x+3|=5$ $\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} 2x+3=5\\ 2x+3=-5 \end{matrix} \right.$

$\left [\begin{matrix} 2x=2\\ 2x=-8 \end{matrix} \right.$

$\left [\begin{matrix} x=1\\ x=-4 \end{matrix} \right.$

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = -4.

b) Cách giải phương trình dạng |A(x)| = B(x)

Cách 1: Đặt điều kiện cho vế không chứa dấu giá trị tuyệt đối

Cách giải này rất nhanh gọn khi biểu thức $B(x)$ đơn giản (thường là bậc nhất hoặc hằng số). Ta thực hiện biến đổi tương đương như sau:

• Ưu điểm: Các em chỉ cần giải một điều kiện chặn cho $B(x)$, giúp bài làm mạch lạc và ít chia trường hợp nhỏ.

Cách 2: Phá dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa (Chia trường hợp)

Cách này dựa trên việc xét dấu của biểu thức nằm bên trong dấu trị tuyệt đối $A(x)$. Ta có phép biến đổi tương đương sau:

• Ưu điểm: Giúp các em hiểu sâu bản chất của giá trị tuyệt đối. Cách giải này cực kỳ hữu ích khi gặp các bài toán chứa nhiều dấu trị tuyệt đối lồng nhau hoặc cộng lại với nhau.

Ví dụ: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối sau: $|5x - 1| = 2x + 5$

Lời giải:

Dưới đây là hai cách tiếp cận phổ biến để giải quyết bài toán này. Tùy vào thói quen và kỹ năng biến đổi, các em có thể lựa chọn cách làm phù hợp nhất.

Cách 1: Đặt điều kiện cho vế không chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp này tập trung vào việc chặn điều kiện để vế phải không âm trước khi phá dấu trị tuyệt đối.

Ta có biến đổi tương đương:

Đối chiếu với điều kiện $x \geq -2,5$, ta thấy cả hai giá trị $x = 2$ và $x = -4/7$ đều thỏa mãn.

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm là $x = 2$ và $x = -4/7$.

Cách 2: Phá dấu giá trị tuyệt đối bằng cách chia trường hợp (Định nghĩa)

Phương pháp này xét trực tiếp dấu của biểu thức nằm trong trị tuyệt đối.

Ta có biến đổi tương đương:

• Ở trường hợp đầu tiên, nghiệm $x = 2$ thỏa mãn điều kiện $x \geq 1/5$.

• Ở trường hợp thứ hai, nghiệm $x = -4/7$ thỏa mãn điều kiện $x < 1/5$.

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm là $x = 2$ và $x = -4/7$.

Nhận xét: Dù giải theo cách nào, kết quả tập nghiệm của phương trình đều như nhau.

2. Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng $|A(x)| = |B(x)|$

Đây là dạng toán tương đối đơn giản vì cả hai vế đều chứa dấu giá trị tuyệt đối. Chúng ta không cần đặt điều kiện xác định cho vế nào mà có thể phá dấu trị tuyệt đối trực tiếp.

Phương pháp giải:

Vì giá trị tuyệt đối của hai biểu thức bằng nhau khi và chỉ khi hai biểu thức đó bằng nhau hoặc đối nhau, ta có biến đổi tương đương sau:

Ví dụ: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối sau: $|3x - 2| = |6 - x|$

Lời giải:

Áp dụng quy tắc phá dấu giá trị tuyệt đối, phương trình đã cho tương đương với:

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm là $x = 2$ và $x = -2$.

Mẹo nhỏ: Đối với dạng này, các em có thể sử dụng phương pháp bình phương hai vế (vì cả hai vế đều không âm) để triệt tiêu dấu trị tuyệt đối: $A^2(x) = B^2(x)$. Tuy nhiên, cách chia hai trường hợp như trên thường giúp tính toán nhanh và ít sai sót hơn.

3. Giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối dạng |A(x)| + |B(x)| = b

* Cách giải 1: Dùng bảng xét dấu để phá trị tuyệt đối

+ Bước 1: Giải các phương trình |A(x)| = 0 và |B(x)| = 0 để tìm các nghiệm x_i

+ Bước 2: Lập bảng xét phá dấu giá trị tuyệt đối dựa trên các điểm x_i

+ Bước 3: Giải các phương trình theo các khoảng trong bảng

* Cách giải 2: Chia thành 4 trường hợp để phá trị tuyệt đối

+ TH1: $\left\{\begin{matrix} A(x)\geq 0\\ B(x)\geq 0 \end{matrix}\right.$ ta giải phương trình: A(x) + B(x) = b.

+ TH2: $ \left\{\begin{matrix} A(x)\geq 0\\ B(x)<0 \end{matrix}\right.$ ta giải phương trình: A(x) - B(x) = b.

+ TH3: $\left\{\begin{matrix} A(x)< 0\\ B(x)\geq 0 \end{matrix}\right.$ ta giải phương trình: -A(x) + B(x) = b.

+ TH4:  $\left\{\begin{matrix} A(x)< 0\\ B(x)<0 \end{matrix}\right.$ ta giải phương trình: -A(x) - B(x) = b.

* Ví dụ:Giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối sau: |x + 1| + |x - 1| = 6 (*)

Lời giải:

* Giải theo cách 1:

- Bước 1: Giải các phương trình |x + 1| = 0 và |x - 1| = 0 được nghiệm x = -1 và x = 1.

- Bước 2: Lập bảng xét dấu làm căn cứ phá dấu trị tuyệt đối

- Bước 3: Từ bảng xét dấu, ta giải phương trình theo các khoảng.

+) Nếu x<-1, ta có: -2x = 6 ⇔ x = -3

+) Nếu -1≤x<1, ta có: 2 = 6 (vô nghiệm)

+) Nếu x≥1, ta có: 2x = 6 ⇔ x = 3.

Kết luận: vậy phương trình có hai nghiệm x = -3 và x = 3.

* Giải theo cách 2:

+) TH1: $\left\{\begin{matrix} x+1\geq 0\\ x-1\geq 0 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -1\\ x\geq 1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\geq 1$

Phương trình (*) trở thành: x + 1 + x - 1 = 6

⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3 (thỏa điều kiện x≥1).

+) TH2:  $\left\{\begin{matrix} x+1\geq 0\\ x-1<0 \end{matrix}\right.$  $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -1\\ x<1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow -1\leq x< 1$

Phương trình (*) trở thành: x + 1 - x + 1 = 6

⇔ 2 = 6 (vô lý) suy ra phương trình vô nghiệm.

+) TH3:  $\left\{\begin{matrix} x+1< 0\\ x-1\geq 0 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x< -1\\ x\geq 1 \end{matrix}\right.$ không xảy ra.

+) TH4: $\left\{\begin{matrix} x+1< 0\\ x-1< 0 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x< -1\\ x<1 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow x< -1$

Phương trình (*) trở thành: - x - 1 - x + 1 = 6

⇔ -2x = 6 ⇔ x = -3 (thỏa điều kiện x<-1).

Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm x = -3 và x = 3.

4. Vận dụng giải phương trình có chứa dấu trị tuyệt đối có tham số

Ví dụ: Giải và biện luận phương trình chứa dấu trị tuyệt đối có tham số sau:

 |mx + 1| = |3x + m - 2|  (*)

Lời giải: 

- Ta có:

$(*)\Leftrightarrow \left [\begin{matrix} mx+1=3x+m-2\\ mx+1=-3x-m+2 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left [\begin{matrix} (m-3)x=m-3\\ (m+3)x=-m+1 \end{matrix} \right.$

+) Giải và biện luận phương trình:(m - 3)x = m - 3 (1)

Xét hai trường hợp:

* TH1: Nếu m - 3 = 0 ⇔ m = 3, pt (1) trở thành: 0x = 0, phương trình nghiệm đúng với ∀x ∈ R.

* TH2: Nếu m - 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3, pt (1) ⇔ x = 1: phương trình có nghiệm duy nhất.

+) Giải và biện luận phương trình: (m + 3)x = 1 - m (2)

Xét hai trường hợp:

* TH1: Nếu m + 3 = 0 ⇔ m = -3, pt (2) trở thành: 0x = 4, phương trình vô nghiệm.

* TH2: Nếu m + 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ -3, pt (2) ⇔ x = (1-m)/(m+3): phương trình có nghiệm duy nhất.

Kết luận: Với m = 3, phương trình có nghiệm đúng ∀x ∈ R.

 m = -3, phương trình vô nghiệm

 m ≠ 3, phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

 m ≠ -3, phương trình có nghiệm duy nhất x=\frac{1-m}{m+3}

III. Bài tập rèn luyện

Bài tập 1: Giải các phương trình chứa dấu trị tuyệt đối sau:

a)$|3x+1|=|x+1|$

b)$|x^2-3|=|x-\sqrt{3}|$

 c)$|x^2-1|+|x+1|=0$

Bài tập 2: Hãy giải và biện luận các phương trình sau:

a) $|x-3|=2m+1$

b) $|2x-m|=x+1$

c) $|x^2-1|=3x-2$