Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối có tham số m - Toán 9 chuyên đề

12:44:1612/08/2021

Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là một dạng toán quen thuộc nhưng cũng dễ gây nhầm lẫn. Đặc biệt, khi có thêm tham số m, bài toán trở nên phức tạp hơn. Bài viết này sẽ hệ thống lại kiến thức và hướng dẫn bạn cách giải quyết các phương trình này một cách hiệu quả.

I. Tổng hợp các phương pháp giải phương trình chứa giá trị tuyệt đối

Để giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, bạn có thể sử dụng một hoặc kết hợp các phương pháp sau:

Phương pháp 1: Dùng định nghĩa
- $|A(x)|=\begin{cases}A(x)&\text{khi}\;A(x)\ge 0\\-A(x)&\text{khi}\;A(x)<0\end{cases}$
- Đây là phương pháp cơ bản và luôn áp dụng được, đặc biệt hiệu quả với các phương trình chứa biểu thức bậc hai trở lên.
Phương pháp 2: Bình phương hai vế
- Áp dụng khi cả hai vế của phương trình đều không âm.
- $|A(x)|=B(x)\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}B(x)\ge 0\\(A(x))^2=(B(x))^2\end{matrix}\right.$
- $|A(x)|=|B(x)|\Leftrightarrow(A(x))^2=(B(x))^2$
Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ
- Sử dụng khi phương trình có cấu trúc lặp lại của một biểu thức chứa giá trị tuyệt đối.

Ngoài ra, một vài công thức cần nhớ:

• small left | A
ight |=left{egin{matrix} A,: khi : Ageq 0 -A,: khi: A< 0 end{matrix}
ight.

• small left | A
ight |=BLeftrightarrow left{egin{matrix} Ageq 0 A=B end{matrix}
ight.: hay: left{egin{matrix} A< 0 A=-B end{matrix}
ight.

• small left | A
ight |=BLeftrightarrow left{egin{matrix} Bgeq 0 A=B: hay: A=-B end{matrix}
ight.

• small left | A
ight |=left | B
ight |Leftrightarrow A=B: hay: A=-B

• small left | A
ight |+left | B
ight |=0Leftrightarrow left{egin{matrix} A=0 B=0 end{matrix}
ight.

• $small sqrt{A^2}=BLeftrightarrow left | A ight |=B$

• Xem thêm: Cách giải biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m cực hay

II. Giải các dạng phương trình giá trị tuyệt đối cơ bản

1. Giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối dạng |A(x)| = b (b≥0); |A(x)| = B(x)

a) Cách giải phương trình dạng |A(x)| = b (b≥0)

$\small |A(x)|=b\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} A(x)=b\\ A(x)=-b \end{matrix} \right.$

* Ví dụ: Giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối sau: |2x + 3| = 5

* Lời giải:

Ta có: $\small |2x+3|=5\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} 2x+3=5\\ 2x+3=-5 \end{matrix} \right.$ $\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} 2x=2\\ 2x=-8 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=1\\ x=-4 \end{matrix} \right.$

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = -4.

b) Cách giải phương trình dạng |A(x)| = B(x)

* Cách 1:

$\small |A(x)|=B(x)\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} B(x)\geq 0\\ \left \[\begin{matrix} A(x)=B(x)\\ A(x)=-B(x) \end{matrix} \right. \end{matrix}\right.$

* Cách 2:

$\small |A(x)|=B(x \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} A(x)\geq 0\\ A(x)=B(x) \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} A(x)<0\\ -A(x)=B(x) \end{matrix}\right. \end{matrix} \right.$

* Ví dụ: Giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối sau: |5x - 1| = 2x + 5

> Lời giải:

* Giải theo cách 1, ta được:

$\small |5x-1|=2x+5\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+5\geq 0\\ \left \[\begin{matrix} 5x-1=2x+5\\ 5x-1=-(2x+5) \end{matrix} \right. \end{matrix}\right.$ $\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x\geq-5 \\ \left \[\begin{matrix} 3x=6\\ 7x=-4 \end{matrix} \right. \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq\frac{-5}{2} \\ \left \[\begin{matrix} x=2\\ x=\frac{-4}{7} \end{matrix} \right. \end{matrix}\right.$

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm thỏa là x = 2 và x = -4/7.

* Giải theo cách 2, ta được:

$\small |5x-1|=2x+5\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} 5x-1\geq 0\\ 5x-1=2x+5 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} 5x-1<0\\ -(5x-1)=2x+5 \end{matrix}\right. \end{matrix} \right.$ $\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} 5x\geq 1\\ 3x=6 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} 5x<1\\ -7x=4 \end{matrix}\right. \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x\geq \frac{1}{5}\\ x=2 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x<\frac{1}{5}\\ x=-\frac{4}{7} \end{matrix}\right. \end{matrix} \right.$

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm thỏa là x = 2 và x = -4/7.

→ Nhận xét: Dù giải theo cách nào, thì kết quả tập nghiệm của phương trình cũng như nhau.

2. Giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối dạng |A(x)| = |B(x)|

* Cách giải:

$\small |A(x)|=|B(x)|\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} A(x)=B(x)\\ A(x)=-B(x) \end{matrix} \right.$

* Ví dụ: Giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối sau: |3x - 2| = |6 - x|

> Lời giải:

$\small |3x-2|=|6-x|\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} 3x-2=6-x\\ 3x-2=-(6-x) \end{matrix} \right.$ $\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} 4x=8\\ 2x=-4 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=2\\ x=-2 \end{matrix} \right.$

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm là x = 2 và x = -2.

3. Giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối dạng |A(x)| + |B(x)| = b

* Cách giải 1: Dùng bảng xét dấu để phá trị tuyệt đối

+ Bước 1: Giải các phương trình |A(x)| = 0 và |B(x)| = 0 để tìm các nghiệm x_i

+ Bước 2: Lập bảng xét phá dấu giá trị tuyệt đối dựa trên các điểm x_i

+ Bước 3: Giải các phương trình theo các khoảng trong bảng

* Cách giải 2: Chia thành 4 trường hợp để phá trị tuyệt đối

+ TH1: $\small \left\{\begin{matrix} A(x)\geq 0\\ B(x)\geq 0 \end{matrix}\right.$ ta giải phương trình: A(x) + B(x) = b.

+ TH2: $\small \left\{\begin{matrix} A(x)\geq 0\\ B(x)<0 \end{matrix}\right.$ ta giải phương trình: A(x) - B(x) = b.

+ TH3: $\small \left\{\begin{matrix} A(x)< 0\\ B(x)\geq 0 \end{matrix}\right.$ ta giải phương trình: -A(x) + B(x) = b.

+ TH4: $\small \left\{\begin{matrix} A(x)< 0\\ B(x)<0 \end{matrix}\right.$ ta giải phương trình: -A(x) - B(x) = b.

* Ví dụ: Giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối sau: |x + 1| + |x - 1| = 6 (*)

> Lời giải:

* Giải theo cách 1:

- Bước 1: Giải các phương trình |x + 1| = 0 và |x - 1| = 0 được nghiệm x = -1 và x = 1.

- Bước 2: Lập bảng xét dấu làm căn cứ phá dấu trị tuyệt đối

Bảng xét dấu phương trình chứa dấu trị tuyệt đối

- Bước 3: Từ bảng xét dấu, ta giải phương trình theo các khoảng.

+) Nếu x<-1, ta có: -2x = 6 ⇔ x = -3

+) Nếu -1≤x<1, ta có: 2 = 6 (vô nghiệm)

+) Nếu x≥1, ta có: 2x = 6 ⇔ x = 3.

Kết luận: vậy phương trình có hai nghiệm x = -3 và x = 3.

* Giải theo cách 2:

+) TH1: $\small \left\{\begin{matrix} x+1\geq 0\\ x-1\geq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -1\\ x\geq 1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\geq 1$

Phương trình (*) trở thành: x + 1 + x - 1 = 6

⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3 (thỏa điều kiện x≥1).

+) TH2: $\small \left\{\begin{matrix} x+1\geq 0\\ x-1<0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -1\\ x<1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow -1\leq x< 1$

Phương trình (*) trở thành: x + 1 - x + 1 = 6

⇔ 2 = 6 (vô lý) suy ra phương trình vô nghiệm.

+) TH3: $\small \left\{\begin{matrix} x+1< 0\\ x-1\geq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x< -1\\ x\geq 1 \end{matrix}\right.$ không xảy ra.

+) TH4: $\small \left\{\begin{matrix} x+1< 0\\ x-1< 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x< -1\\ x<1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x< -1$

Phương trình (*) trở thành: - x - 1 - x + 1 = 6

⇔ -2x = 6 ⇔ x = -3 (thỏa điều kiện x<-1).

Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm x = -3 và x = 3.

4. Vận dụng giải phương trình có chứa dấu trị tuyệt đối có tham số

Ví dụ: Giải và biện luận phương trình chứa dấu trị tuyệt đối có tham số sau:

|mx + 1| = |3x + m - 2| (*)

Lời giải:

- Ta có:

$\small (*)\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} mx+1=3x+m-2\\ mx+1=-3x-m+2 \end{matrix} \right.$ $\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} (m-3)x=m-3\\ (m+3)x=-m+1 \end{matrix} \right.$

+) Giải và biện luận phương trình: (m - 3)x = m - 3 (1)

Xét hai trường hợp:

* TH1: Nếu m - 3 = 0 ⇔ m = 3, pt (1) trở thành: 0x = 0, phương trình nghiệm đúng với ∀x ∈ R.

* TH2: Nếu m - 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3, pt (1) ⇔ x = 1: phương trình có nghiệm duy nhất.

+) Giải và biện luận phương trình: (m + 3)x = 1 - m (2)

Xét hai trường hợp:

* TH1: Nếu m + 3 = 0 ⇔ m = -3, pt (2) trở thành: 0x = 4, phương trình vô nghiệm.

* TH2: Nếu m + 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ -3, pt (2) ⇔ x = (1-m)/(m+3): phương trình có nghiệm duy nhất.

Kết luận: Với m = 3, phương trình có nghiệm đúng ∀x ∈ R.

m = -3, phương trình vô nghiệm

m ≠ 3, phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

m ≠ -3, phương trình có nghiệm duy nhất $\small x=\frac{1-m}{m+3}$

III. Bài tập rèn luyện

Bài tập 1: Giải các phương trình chứa dấu trị tuyệt đối sau:

$\small a)\: |3x+1|=|x+1|$

$\small b)\: |x^2-3|=|x-\sqrt{3}|$

$\small c)\: |x^2-1|+|x+1|=0$

Bài tập 2: Hãy giải và biện luận các phương trình sau:

a) $|x-3|=2m+1$

b) $|2x-m|=x+1$

c) $|x^2-1|=3x-2$

Hy vọng qua bài viết này, bạn sẽ không còn "sợ" khi gặp phải các bài toán phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối có tham số. Chúc bạn học tốt!

Đánh giá & nhận xét

minh

chữ bị khuyết tật à

Trả lời -

02/06/2023 - 11:36

Admin

Chào bạn, công thức toán học thỉnh thoảng (thực tế là cực kỳ ít) bị lỗi load font khi mạng mạng bị chậm, nếu gặp trường hợp như vậy bạn nhấn f5 hoặc refresh lại trang là có thể được nhé bạn, chúc bạn nhiều thành công

16/06/2023 - 15:35

Xem thêm bình luận

1 trong số 1