Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m - Toán 9 chuyên đề

Bài viết dưới đây sẽ trình bày chi tiết cách giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m ở chương trình toán lớp 9 để các em cảm thấy việc giải dạng toán này cũng không hề khó nhằn như nhiều em vẫn nghĩ.

» Đừng bỏ lỡ: Cách giải hệ phương trình có chứa tham số m cực hay

A. Cách giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m

• Giải phương trình bậc 2 dạng: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Để giải phương trình bậc 2, điều đầu tiên các em cần nhớ là công thức tính biệt thức delta: Δ = b² - 4ac

- Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

- Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

- Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

> Lưu ý: Nếu hệ số b của phương trình bậc 2 là số chẵn (tức b = 2b') ta có thể tính biệt thức Δ' để giải biện luận phương trình.

 Δ' = b'² - ac

 Nếu Δ' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

 Nếu Δ' = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

 Nếu Δ' < 0 thì phương trình vô nghiệm.

• Cách giải và biện luận phương trình bậc 2 có chứa tham số m

Xét các trường hợp của hệ số a:

+ Nếu a = 0 thì tìm nghiệm của phương trình bậc nhất.

+ Nếu a ≠ 0 thì thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Tính biệt thức delta (hoặc Δ')

- Bước 2: Xét các trường hợp của delta chứa tham số

- Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình theo tham số 

» xem thêm: Tổng hợp cách dạng toán vận dụng hệ thức Vi-ét cực hay

B. Bài tập minh họa Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m

* Bài tập 1: Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m sau:

x² - 2(3m - 1)x + 9m² - 6m - 8 = 0 (*)

* Lời giải:

Để ý phương trình (*) có các hệ số: a = 1; b = 2(3m - 1) và c = 9m² - 6m - 8

Vì vậy ta tính biệt số Δ', ta có:

 Δ' = b'² - ac = (3m - 1)² - 1.(9m² - 6m - 8)

 = 9m² - 6m + 1 - 9m² + 6m + 8

 = 9 > 0

Suy ra: 

Nên sao có 2 nghiệm phân biệt: 

→ Kết luận: Với mọi tham số m thì pt (*) luông có 2 nghiệm phân biệt.

* Bài tập 2: Giải và biện luận phương trình bậc 2 sau theo tham số m:

 3x² - mx + m² = 0

* Lời giải:

Các hệ số của phương trình bậc 2 trên: a = 3; b = -m; c = m²

Tính biệt thức delta:

 Δ = b² - 4ac = (-m)² - 4.3.m² = m² - 12m² = -11m² ≤ 0 (với mọi m)

+ Trường hợp: Δ = 0 ⇔ -11m² = 0 ⇔ m = 0

Phương trình (*) có nghiệm kép: x₁ = x₂ = 0

+ Trường hợp: Δ < 0 ⇔ -11m² < 0 ⇔ m ≠ 0

Phươn trình (*) vô nghiệm.

→ Kết luận: Với m = 0 pt (*) có nghiệm kép x = 0

Với m ≠ 0 pt (*) vô nghiệm

* Bài tập 3: Cho phương trình mx² - 2(m - 1)x + (m + 1) = 0 (*) với m là tham số.

a) Giải phương trình với m = -2.

b) Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.

c) Tìm m để phương trình (*) có 1 nghiệm.

* Lời giải:

a) Với m = -2, pt (*) trở thành: -2x² - 2(-2 - 1)x + (-2 + 1) = 0

⇔ -2x² + 6x - 1 = 0

⇔ 2x² - 6x + 1 = 0

Tính biệt số delta (các em có thể tính delta phẩy sẽ gọn hơn nhé):

 Δ = b² - 4ac = (-6)² - 4(2.1) = 36 - 8 = 28 > 0

Suy ra 

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

b) Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khi: 

 Δ' = b'² - ac = (m - 1)² - m(m + 1)

 = m² - 2m + 1 - m² - m

 = -3m + 1

 Δ' > 0 ⇔ -3m + 1 > 0 ⇔ m <1/3

Vậy phương trình (*) có 2 nghiệm khi chỉ khi: 

c) Với m = 0: Pt(*) có dạng pt bậc nhất một ẩn: 2x + 1 = 0.

 Khi đó pt có nghiệm duy nhất x = -1/2

Với m ≠ 0: pt(*) là pt bậc 2 một ẩn, có 1 nghiệm khi Δ' = 0

⇔ -3m + 1 = 0 ⇔ m = 1/3

Kết luận: Phương trình (*) có nghiệm duy nhất khi m = 0 hoặc m = 1/3.

* Bài tập 4: Giải và biện luận phương trình bậc 2 chứa tham số m sau:

(m - 1)x² - 2mx + m + 2 = 0  (*)

* Lời giải:

Để ý pt(*) có các hệ số: a = (m - 1); b = (-2m); c = (m + 2)

+ Xét trường hợp a = 0, nghĩa là (m - 1) = 0 tức m = 1, ta có:

 pt(*) trở thành: -2x + 3 = 0 ⇒ x = 3/2.

+ Xét trường hợp a ≠ 0 (m - 1 ≠ 0) tức m ≠ 1, ta có:

 Δ' = m² - (m - 1).(m + 2)

 = m² - (m² + 2m - m - 2)

 = m² - m² - m + 2

 = -m + 2

- Nếu  Δ' > 0 ⇔ -m + 2 > 0 ⇔ m < 2 thì pt có 2 nghiệm phân biệt:

- Nếu Δ' = 0 ⇔ -m + 2 = 0 ⇔ m = 2 thì pt có nghiệp kép:

- Nếu Δ' < 0 ⇔ -m + 2 < 0 ⇔ m > 2 thì pt vô nghiệm

→ Kết luận:

Với m = 1 hoặc m = 2 phương trình (*) có nghiệm duy nhất.

Với m < 2 phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

Với m > 2 phương trình (*) vô nghiệm