Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m - Toán 9 chuyên đề

Bài viết này sẽ hệ thống lại chi tiết các bước thực hiện để các em tự tin chinh phục điểm số cao nhất.

1. Lý thuyết cơ bản về phương trình bậc 2

Công thức tổng quát và biệt thức Delta

Xét phương trình bậc 2 dạng:

Để giải phương trình này, ta sử dụng biệt thức Delta:

Các trường hợp xảy ra của Delta:

• Nếu $\Delta > 0$: Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

  $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}; \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$$

• Nếu $\Delta = 0$: Phương trình có nghiệm kép:

  $$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$$

• Nếu $\Delta < 0$: Phương trình vô nghiệm.

Lưu ý: Khi hệ số b là số chẵn (b = 2b'), ta nên sử dụng biệt thức thu gọn $\Delta'$ để tính toán đơn giản hơn:

$$\Delta' = b'^2 - ac$$

• Nếu $\Delta' > 0$: Có 2 nghiệm phân biệt:

  $$x_1 = \frac{-b' + \sqrt{\Delta'}}{a}; \quad x_2 = \frac{-b' - \sqrt{\Delta'}}{a}$$

• Nếu $\Delta' = 0$: Nghiệm kép:

  $$x_1 = x_2 = \frac{-b'}{a}$$

• Nếu $\Delta' < 0$: Phương trình vô nghiệm.

2. Quy trình giải và biện luận phương trình chứa tham số m

Khi gặp bài toán giải và biện luận theo m, các em cần xét kỹ hệ số a theo các bước sau:

1. Xét hệ số a:

   • Nếu a có chứa tham số, cần xét trường hợp a = 0 để đưa về giải phương trình bậc nhất một ẩn.

   • Xét trường hợp a ≠ 0 để giải theo phương pháp phương trình bậc 2.

2. Tính biệt thức: Tính $\Delta$ hoặc $\Delta'$ theo tham số m.

3. Biện luận: Chia các trường hợp của m để $\Delta > 0$, $\Delta = 0$ hoặc $\Delta < 0$.

4. Kết luận: Tổng hợp các nghiệm tìm được theo từng điều kiện của m.

B. Bài tập minh họa Giải và biện luận phương trình bậc 2

Bài tập 1: Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m sau:

Lời giải:

Phương trình $(*)$ có các hệ số: $a = 1; b' = -(3m - 1)$ và $c = 9m^2 - 6m - 8$.

Ta tính biệt thức thu gọn $\Delta'$:

Vì $\Delta' = 9 > 0$ nên $\sqrt{\Delta'} = \sqrt{9} = 3$.

Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$:

• $x_1 = \frac{-b' + \sqrt{\Delta'}}{a} = \frac{3m - 1 + 3}{1} = 3m + 2$

• $x_2 = \frac{-b' - \sqrt{\Delta'}}{a} = \frac{3m - 1 - 3}{1} = 3m - 4$

Kết luận: Với mọi tham số $m$, phương trình $(*)$ luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1 = 3m + 2$ và $x_2 = 3m - 4$.

Bài tập 2: Giải và biện luận phương trình bậc 2 sau theo tham số m:

Lời giải:

Các hệ số của phương trình: $a = 3; b = -m; c = m^2$.

Tính biệt thức $\Delta$:

Vì $m^2 \geq 0$ với mọi $m$ nên $-11m^2 \leq 0$ với mọi $m$.

• Trường hợp 1: $\Delta = 0$

  $\Leftrightarrow -11m^2 = 0 \Leftrightarrow m = 0$.

  Khi đó phương trình $(*)$ có nghiệm kép: $x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a} = 0$.

• Trường hợp 2: $\Delta < 0$

  $\Leftrightarrow -11m^2 < 0 \Leftrightarrow m \neq 0$.

  Khi đó phương trình $(*)$ vô nghiệm.

Kết luận:

• Với $m = 0$, phương trình $(*)$ có nghiệm kép $x = 0$.

• Với $m \neq 0$, phương trình $(*)$ vô nghiệm.

Bài tập 3: Cho phương trình $mx^2 - 2(m - 1)x + (m + 1) = 0 \quad (*)$

a) Giải phương trình với $m = -2$.

b) Tìm $m$ để phương trình $(*)$ có 2 nghiệm phân biệt.

c) Tìm $m$ để phương trình $(*)$ có 1 nghiệm.

Lời giải:

a) Với $m = -2$, phương trình $(*)$ trở thành:

$-2x^2 - 2(-2 - 1)x + (-2 + 1) = 0$

$\Leftrightarrow -2x^2 + 6x - 1 = 0 \Leftrightarrow 2x^2 - 6x + 1 = 0$.

Tính $\Delta = (-6)^2 - 4(2 \cdot 1) = 36 - 8 = 28 > 0 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$.

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

• $x_1 = \frac{6 + 2\sqrt{7}}{4} = \frac{3 + \sqrt{7}}{2}$

• $x_2 = \frac{6 - 2\sqrt{7}}{4} = \frac{3 - \sqrt{7}}{2}$

b) Phương trình $(*)$ có 2 nghiệm phân biệt khi:

$\begin{cases} a \neq 0 \\ \Delta' > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \neq 0 \\ (m - 1)^2 - m(m + 1) > 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} m \neq 0 \\ m^2 - 2m + 1 - m^2 - m > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \neq 0 \\ -3m + 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \neq 0 \\ m < \frac{1}{3} \end{cases}$

Vậy phương trình $(*)$ có 2 nghiệm phân biệt khi $m < \frac{1}{3}$ và $m \neq 0$.

c) Phương trình $(*)$ có 1 nghiệm:

• Trường hợp m = 0: Phương trình trở thành $2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = -1/2$ (có 1 nghiệm).

• Trường hợp $m \neq 0$: Phương trình có 1 nghiệm khi $\Delta' = 0 \Leftrightarrow -3m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1/3$.

Kết luận: Phương trình $(*)$ có nghiệm duy nhất khi $m = 0$ hoặc $m = 1/3$.

Bài tập 4: Giải và biện luận phương trình bậc 2 chứa tham số m sau:

Lời giải:

Hệ số: $a = m - 1; b' = -m; c = m + 2$.

• TH1: $a = 0 \Leftrightarrow m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$:

  Phương trình $(*)$ trở thành: $-2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3/2$ (có 1 nghiệm).

• TH2: $a \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 1$:

  Ta tính $\Delta' = (-m)^2 - (m - 1)(m + 2) = m^2 - (m^2 + m - 2) = -m + 2$.

  • Nếu $\Delta' > 0 \Leftrightarrow -m + 2 > 0 \Leftrightarrow m < 2$: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

    $x_1 = \frac{m + \sqrt{2 - m}}{m - 1}; \quad x_2 = \frac{m - \sqrt{2 - m}}{m - 1}$

  • Nếu $\Delta' = 0 \Leftrightarrow -m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2$: Phương trình có nghiệm kép:

    $x_1 = x_2 = \frac{-b'}{a} = \frac{2}{2 - 1} = 2$.

  • Nếu $\Delta' < 0 \Leftrightarrow -m + 2 < 0 \Leftrightarrow m > 2$: Phương trình vô nghiệm.

Kết luận chung:

• Với $m = 1$ hoặc $m = 2$: Phương trình có 1 nghiệm.

• Với $m < 2$ và $m \neq 1$: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

• Với $m > 2$: Phương trình vô nghiệm.

Bài tập tự luyện

Để rèn luyện thêm kỹ năng, các em hãy thực hiện các bài tập sau đây nhé:

Bài tập 5: Giải và biện luận theo tham số $k$:

a) $(k - 1)x^2 + 3kx + 2k + 1 = 0$

b) $kx^2 + 2k^2x + 1 = 0$

Bài tập 6: Giải và biện luận theo tham số $m$:

a) $x^2 - 2(m - 4)x + m^2 = 0$

b) $(2m - 7)x^2 + 2(2m + 5)x - 14m + 1 = 0$