Cách giải phương trình bậc 3 và bài tập vận dụng - Toán 9 chuyên đề

Bài viết này sẽ hướng dẫn các em phương pháp giải phương trình bậc 3 chi tiết, cách nhẩm nghiệm và sử dụng sơ đồ Hooc-ne để hạ bậc phương trình.

I. Các phương pháp giải phương trình bậc 3

1. Giải phương trình bậc 3 dạng đơn giản $x^3 = a$

Đây là dạng cơ bản nhất, chúng ta sử dụng định nghĩa căn bậc 3 để tìm nghiệm duy nhất:

2. Giải phương trình tổng quát $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ bằng phương pháp nhẩm nghiệm

Đối với các bài toán lớp 9, đề bài thường cho phương trình có ít nhất một nghiệm "đẹp".

• Bước 1: Nhẩm nghiệm. Thử các giá trị $x = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$ hoặc các ước của hệ số tự do $d$.

  • Mẹo: Nếu $a + b + c + d = 0$, phương trình chắc chắn có nghiệm $x = 1$.

  • Mẹo: Nếu $a - b + c - d = 0$, phương trình chắc chắn có nghiệm $x = -1$.

• Bước 2: Hạ bậc. Nếu biết $x = \alpha$ là một nghiệm, ta phân tích đa thức thành dạng tích:

  $$(x - \alpha)(ax^2 + Bx + C) = 0$$

• Bước 3: Chia đa thức. Để tìm đa thức bậc hai $(ax^2 + Bx + C)$, các em có thể thực hiện phép chia đa thức thông thường hoặc sử dụng sơ đồ Hooc-ne.

Sơ đồ Hooc-ne bậc 3:

Giả sử nghiệm nhẩm được là $\alpha$.

Hệ số	a	b	c	d
$x = \alpha$	$a$	$B = \alpha \cdot a + b$	$C = \alpha \cdot B + c$	$0 = \alpha \cdot C + d$

Khi đó: ax³ + bx² + cx + d = (x - α).(ax² + Bx + C)

ax³ + bx² + cx + d = 0

⇔ (x - α).(ax² + Bx + C) = 0

II. Bài tập vận dụng giải phương trình bậc 3

Bài tập 1: Giải phương trình $x^3 = 8$

Lời giải:

Ta có: $x^3 = 8 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{8} \Leftrightarrow x = 2$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{2\}$.

Bài tập 2: Giải phương trình $2x^3 = -128$

Lời giải:

$2x^3 = -128 \Leftrightarrow x^3 = -64 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{-64} \Leftrightarrow x = -4$.

Vậy $x = -4$ là nghiệm của phương trình.

Bài tập 3: Giải phương trình $2x^3 + 5x^2 - x - 6 = 0$

Lời giải:

Nhận thấy tổng các hệ số: $2 + 5 + (-1) + (-6) = 0$, nên phương trình có một nghiệm $x = 1$.

Sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia đa thức cho $(x - 1)$:

Phương trình tương đương: $(x - 1)(2x^2 + 7x + 6) = 0$

• Trường hợp 1: $x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

• Trường hợp 2: $2x^2 + 7x + 6 = 0$. Có $\Delta = 7^2 - 4.2.6 = 1 > 0$.

  Phương trình có 2 nghiệm: $x_1 = \frac{-7+1}{4} = -\frac{3}{2}; x_2 = \frac{-7-1}{4} = -2$.

  Kết luận: Tập nghiệm $S = \{-2; -3/2; 1\}$.

Bài tập 4: Giải phương trình $3x^3 - 2x^2 - 5x + 4 = 0$ biết có nghiệm $x = 1$

Lời giải:

Sử dụng sơ đồ Hooc-ne với nghiệm $x = 1$:

Vì x = 1 là một nghiệm của phương trình nên lấy đa thức (3x³ - 2x² - 5x + 4) chia cho (x – 1). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia:

Phương trình tương đương: $(x - 1)(3x^2 + x - 4) = 0$

• $x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

• $3x^2 + x - 4 = 0$ có $a+b+c = 3+1-4 = 0 \Rightarrow$ có nghiệm $x = 1$ và $x = -4/3$.

  Kết luận: Phương trình có nghiệm $x = 1$ và $x = -4/3$.

Bài tập 5: Tìm $m$ để phương trình $(x - 2)(x^2 + mx + m^2 - 3) = 0$ $(*)$ có đúng 2 nghiệm phân biệt

Lời giải:

Phương trình $(*)$ luôn có một nghiệm $x = 2$. Để $(*)$ có đúng 2 nghiệm phân biệt, ta xét 2 trường hợp cho phương trình $f(x) = x^2 + mx + m^2 - 3 = 0$ $(2)$:

• TH1: $(2)$ có nghiệm kép khác 2.

  $\Delta = m^2 - 4(m^2 - 3) = -3m^2 + 12 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 2$.

  Với $m = 2$, $(2)$ trở thành $x^2 + 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = -1$ (Khác 2 - Thỏa mãn).

  Với $m = -2$, $(2)$ trở thành $x^2 - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ (Khác 2 - Thỏa mãn).

• TH2: $(2)$ có 2 nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng 2.

  $f(2) = 0 \Leftrightarrow 2^2 + 2m + m^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow m^2 + 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = -1$.

  Với $m = -1$, $(2)$ có 2 nghiệm $x = 2$ và $x = -1$. Khi đó phương trình $(*)$ có 2 nghiệm là $\{2; -1\}$ (Thỏa mãn).

  Kết luận: $m \in \{2; -2; -1\}$.

III. Bài tập tự luyện

Để củng cố kiến thức, các em hãy thực hiện các bài tập sau:

Bài tập 6: Tìm $m$ để phương trình $(x - 1)(x^2 - 2(m + 1)x - 2) = 0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt.

Bài tập 7: Giải phương trình bậc 3: $3x^3 - 13x^2 + 13x - 3 = 0$.

Bài tập 8: Tìm $m$ để phương trình $(x + 1)(x^2 + 2mx + 4) = 0$ có 3 nghiệm phân biệt và tổng các nghiệm bằng 3.