Cách giải phương trình bậc 3 và bài tập vận dụng - Toán 9 chuyên đề

Ở lớp 9 chúng ta sẽ gặp một số dạng phương trình bậc 3 ở dạng x³ = a hoặc dạng tổng quát là ax³ + bx² + cx + d = 0 nhưng biết trước 1 nghiệm của phương trình này (hoặc dễ dàng tính nhẩm được 1 nghiệm của phương trình này).

I. Cách giải phương trình bậc 3

1. Cách giải phương trình bậc 3 dạng x³ = a

Cách giải dạng phương trình này sử dụng căn thức bậc 3, ta có:

2. Cách giải phương trình bậc 3 dạng ax³ + bx² + cx + d = 0

Với dạng phương trình này đề thường cho trước 1 nghiệm (hoặc ta dễ dàng tính nhẩm được nghiệm của pt, thường là 0; ±1/2: ±1; ±2).

- Nếu x = α là nghiệm của phương trình ax³ + bx² + cx + d = 0 thì

 ax³ + bx² + cx + d = (x - α).f(x)

- Để tìm f(x) ta lấy đa thức ax³ + bx² + cx + d chia cho (x - α).

- Giả sử f(x) = ax² + Bx + C, khi đó phương trình ax³ + bx² + cx + d = 0 được đưa về phương trình dạng tích (x - α).(ax² + Bx + C) = 0.

* Lưu ý: Để tìm f(x) ngoài cách chia đa thức ta có thể sử dụng sơ đồ Hoocne bậc 3 sau:

Khi đó: ax³ + bx² + cx + d = (x - α).(ax² + Bx + C)

ax³ + bx² + cx + d = 0

⇔ (x - α).(ax² + Bx + C) = 0

» Đừng bỏ lỡ: Cách sử dụng lược đồ Hoocne để chia đa thức

II. Bài tập giải phương trình bậc 3

* Bài tập 1: Giải phương trình bậc 3 sau: x³ = 8

* Lời giải:

- Ta có: 

Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình.

* Bài tập 2: Giải phương trình bậc 3 sau: 2x³ = -128

* Lời giải:

- Ta có: 

Vậy x = -4 là nghiệm của phương trình.

* Bài tập 3: Giải phương trình bậc 3 sau: 2x³ + 5x² - x - 6 = 0.

* Lời giải:

- Dễ dàng nhận thấy các hệ số của phương trình bậc 3 là:

 a + b + c + d = 2 + 5 - 1 - 6 = 0 nên có thể nhẩm được phương trình bậc 3 này có 1 nghiệm x = 1.

Vì x = 1 là một nghiệm của phương trình nên lấy đa thức (2x³ + 5x² - x - 6) chia cho

(x – 1). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia:

Vậy 2x³ + 5x² - x - 6 = (x - 1)(2x² + 7x + 6)

Khi đó: 2x³ + 5x² - x - 6 = 0

⇔ (x - 1)(2x² + 7x + 6) = 0

⇔ (x - 1)= 0 hoặc (2x² + 7x + 6) = 0

Xét phương trình:  x – 1 = 0 ⇔ x = 1

Xét phương trình: 2x² + 7x + 6 = 0 có ∆ = 7²  - 4.2.6 = 1 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm:

 x₁ = (-7 + 1)/4 = -3/2;

 x₂ = (-7 - 1)/4 = -2

Vây phương trình có 3 nghiệm là: x = 1; x = -2; x = -3/2;

Tập nghiệm của phương trình S={-2;-3/2;1}.

* Bài tập 4: Tìm nghiệm của phương trình bậc 3 sau: 3x³ - 2x² - 5x + 4 = 0 biết x = 1 là một nghiệm của phương trình.

* Lời giải:

Vì x = 1 là một nghiệm của phương trình nên lấy đa thức (3x³ - 2x² - 5x + 4) chia cho (x – 1). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia:

Vậy 3x³ - 2x² - 5x + 4 = (x – 1).(3x² - 2x - 5)

Khi đó: x³ - 2x² - 5x + 4 = 0

⇔ (x – 1).(3x² - 2x - 5) = 0

⇔ x - 1 = 0 hoặc 3x² - 2x - 5 = 0

Xét phương trình:  x – 1 = 0 ⇔ x = 1

Xét phương trình:  3x² - 2x - 5 = 0 có ∆ = (-2)² - 4.3.(-5)= 64 nên phương trình có 2 nghiệm: x₁ = -1 và x₂ = 5/3.

(có thể thấy ngay phương trình: 3x² - 2x - 5 = 0 có các hệ số a - b + c = 0 nên có 1 nghiệm x = -1 và nghiệm còn lại x = -c/a = 5/3)

Vây phương trình có 3 nghiệm: x = 1; x = -1; x = 5/3.

* Bài tập 5: Tìm m để phương trình bậc 3 sau có đúng 2 nghiệm phân biệt:

 (x - 2)(x² + mx + m² – 3) = 0 (*) 

* Lời giải:

- Phương trình (*)⇔ 

Phương trình (1) có 1 nghiệm x = 2 nên để phương trình (*) có đúng 2 nghiệm thì phương trình (2) phải có nghiệm kép khác 2 hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2.

+) TH1: phương trình (2) có nghiệm kép khác 2

 ⇔ Phương trình (2) có: ∆ = 0 và x = 2 không là nghiệm của (2)

+) TH2: Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2

Thay x = 2 vào phương trình (2) ta được:

 m² + 2m + 1 = 0

⇔ (m + 1)² = 0

⇔ m = -1

Với m = -1 thì phương trình (2) trở thành: x² - x - 2 = 0

Phương trình này có a – b + c = 0 nên có 2 nghiệm: x₁ = -1, x₂ = -c/a = 2

Suy ra m = -1 (thỏa mãn)

Vậy m = -1, m = 2, m = -2 thì phương trình (*) có đúng 2 nghiệm phân biệt.

* Bài tập 6: Tìm m để phương trình bậc 3 sau có đúng 3 nghiệm phân biệt:

 (x - 1)(x² – 2(m + 1)x – 2) = 0

* Bài tập 7: Giải phương trình bậc 3 sau:

 3x³ - 13x² + 13x - 3 = 0

* Bài tập 8: Tìm m để phương trình bậc 3 sau có 3 nghiệm phân biệt và tổng các nghiệm bằng 3:

 (x + 1)(x² + 2mx + 4) = 0