Cách giải hệ phương trình chứa ẩn ở mẫu thức và bài tập vận dụng - Toán 9 chuyên đề

11:03:2431/08/2022

Chào các em! Giải hệ phương trình chứa ẩn ở mẫu thức là một dạng bài tập quan trọng trong chương trình Toán 9. Mặc dù nhìn có vẻ phức tạp, nhưng nếu nắm vững phương pháp, các em có thể dễ dàng biến đổi chúng về dạng hệ phương trình bậc nhất quen thuộc.

Bài viết này sẽ hướng dẫn các em cách giải hệ phương trình chứa ẩn ở mẫu thức một cách chi tiết, kèm theo các ví dụ minh họa để các em vận dụng và hiểu rõ hơn.

I. Cách giải hệ phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

* Phương pháp giải:

Để giải hệ phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, các em cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ).
- Cho tất cả các mẫu thức khác 0 để các biểu thức có nghĩa.
Bước 2: Biến đổi hệ phương trình.
- Cách 1: Biến đổi tương đương. Sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số để giải trực tiếp hệ phương trình. Cách này phù hợp với các bài toán đơn giản.
- Cách 2: Đặt ẩn phụ. Đặt các biểu thức chứa ẩn ở mẫu thành các biến mới để đưa hệ về dạng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn quen thuộc. Cách này rất hiệu quả với các bài toán phức tạp hơn.
Bước 3: Giải hệ phương trình mới.
- Sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số để tìm giá trị của các ẩn.
Bước 4: Đối chiếu ĐKXĐ và kết luận.
- Thay các giá trị ẩn phụ trở lại để tìm nghiệm ban đầu.
- Đối chiếu các nghiệm tìm được với ĐKXĐ ở Bước 1. Nghiệm nào thỏa mãn thì mới là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

* Chú ý: Các điều kiện để mẫu thức có nghĩa và đối chiếu điều kiện trước khi kết luận nghiệm của hệ phương trình.

II. Bài tập giải hệ phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Bài tập 1: Giải hệ phương trình:

$\small \left\{\begin{matrix} \frac{x}{y}=\frac{2}{3}\\ 4x-3y=-2 \end{matrix}\right.\: \: \begin{matrix} (1)\\ (2) \end{matrix}$

Lời giải:

- Điều kiện: y ≠ 0

- Xét pt (1) của hệ, ta rút ra được: $\small x=\frac{2}{3}y$ (3)

Thay vào pt (2) của hệ, ta được: $\small 4.\frac{2y}{3}-3y=-2$

$\small \Leftrightarrow 8y-9y=-6\Leftrightarrow y=6$ (thoả điều kiện)

Thay y = 6 vào (3), ta được:

$\small x=\frac{2.6}{3}=4$

Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (4; 6).

Bài tập 2: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} \frac{6}{x-1}-\frac{5}{y-2}=7\\ \frac{3}{x-1}+\frac{2}{y-2}=-1 \end{matrix}\right.$

Lời giải:

- Điều kiện: $\small \left\{\begin{matrix} x-1\neq 0\\ y-2\neq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq 1\\ y\neq 2 \end{matrix}\right.$

Đặt: $\small u=\frac{1}{x-1};\: v=\frac{1}{y-2}$

Khi đó hệ có dạng: $\small \left\{\begin{matrix} 6u-5v=7\\ 3u+2v=-1 \end{matrix}\right.\: \: \begin{matrix} (1)\\ (2) \end{matrix}$

$\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6u-5v=7\\ 6u+4v=-2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 9v=-9\\ 6u-5v=7 \end{matrix}\right.$

$\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v=-1\\ 6u=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v=-1\\ u=1/3 \end{matrix}\right.$

Có $\small v=-1=\frac{1}{y-2}\Leftrightarrow y=1$ (thoả)

Có $\small u=\frac{1}{3}=\frac{1}{x-1}\Leftrightarrow x=4$ (thoả)

Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (4; 1)

Bài tập 3: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=1\\ \frac{3}{x}+\frac{4}{y}=5 \end{matrix}\right.$

Lời giải:

- Điều kiện: x ≠ 0; y ≠ 0;

Đặt: $\small u=\frac{1}{x};\: \: v=\frac{1}{y}$ khi đó hệ phương trình trở thành:

$\small \left\{\begin{matrix} u-v=1\\ 3u+4v=5 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} u=v+1\\ 3(v+1)+4v=5\end{matrix}\right.$

$\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u=v+1\\ 7v=2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u=v+1\\ v=2/7 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u=9/7\\ v=2/7 \end{matrix}\right.$

$\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}=\frac{9}{7}\\ \frac{1}{y}=\frac{2}{7} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=7/9\\ y=7/2 \end{matrix}\right.$ (thoả điều kiện)

Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (7/9; 7/2)

Bài tập 4: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x-2}-\frac{1}{y-1}=2\\ \frac{2}{x-2}+\frac{3}{y-1}=1 \end{matrix}\right.$

Lời giải:

- Điều kiện: $\small \left\{\begin{matrix} x-2\neq 0\\ y-1\neq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq 2\\ y\neq 1 \end{matrix}\right.$

Đặt $\small u=\frac{1}{x-2};\: \: v=\frac{1}{y-1}$ khi đó hệ trở thành:

$\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u-v=2\\ 2u+3v=1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3u-3v=6\\ 2u+3v=1 \end{matrix}\right.$

$\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5u=7\\ 2u+3v=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u=7/5\\ v=3/5 \end{matrix}\right.$

Từ $\small u=\frac{7}{5}\Rightarrow \frac{1}{x-2}=\frac{7}{5}$ $\small \Leftrightarrow x=\frac{5}{7}+2\Leftrightarrow x=\frac{19}{7}$ (thoả đk)

Từ $\small v=\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{1}{y-1}=\frac{3}{5}$ $\small \Leftrightarrow y=\frac{5}{3}+1\Leftrightarrow y=\frac{8}{3}$ (thoả đk)

Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (19/7; 8/3)

Qua bài viết này, các em đã nắm vững các bước giải hệ phương trình chứa ẩn ở mẫu thức. Hãy luôn nhớ bắt đầu bằng việc tìm ĐKXĐ và linh hoạt sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải quyết các bài toán một cách hiệu quả.