Cách giải hệ phương trình chứa ẩn ở mẫu thức và bài tập vận dụng - Toán 9 chuyên đề

Bài viết này sẽ hướng dẫn các em cách giải hệ phương trình chứa ẩn ở mẫu thức một cách chi tiết và dễ hiểu nhất.

I. Phương pháp giải hệ phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Để giải quyết dạng toán này, các em cần thực hiện nghiêm ngặt theo 4 bước sau:

• Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ).

  Cho tất cả các mẫu thức khác 0 để các biểu thức trong hệ có nghĩa.

• Bước 2: Biến đổi hệ phương trình.

  • Cách 1: Biến đổi tương đương. Sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số trực tiếp. Cách này thường chỉ dùng cho các bài toán đơn giản.

  • Cách 2: Đặt ẩn phụ (Khuyên dùng). Đặt các biểu thức chứa ẩn ở mẫu thành các biến mới (ví dụ $u, v$) để đưa hệ về dạng bậc nhất hai ẩn.

• Bước 3: Giải hệ phương trình mới.

  Sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số để tìm giá trị của các ẩn phụ.

• Bước 4: Đối chiếu ĐKXĐ và kết luận.

  Thay giá trị ẩn phụ trở lại để tìm $x, y$. Luôn luôn đối chiếu kết quả với ĐKXĐ ở Bước 1 trước khi kết luận nghiệm.

II. Bài tập vận dụng chi tiết

Bài tập 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Lời giải:

• ĐKXĐ: $y \neq 0$.

• Từ phương trình (1), ta có: $x = \frac{2}{3}y$ (3).

• Thay (3) vào phương trình (2), ta được:

  $$4 \cdot \frac{2y}{3} - 3y = -2 \Leftrightarrow \frac{8y}{3} - \frac{9y}{3} = -2 \Leftrightarrow -\frac{y}{3} = -2 \Leftrightarrow y = 6$$

  (Thỏa mãn ĐKXĐ).

• Thay $y = 6$ vào (3), ta được: $x = \frac{2 \cdot 6}{3} = 4$.

• Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất $(x; y) = (4; 6)$.

Bài tập 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

Lời giải:

• ĐKXĐ: $x \neq 1$ và $y \neq 2$.

• Đặt $u = \frac{1}{x-1}$ và $v = \frac{1}{y-2}$. Hệ phương trình trở thành:

  $$\begin{cases} 6u - 5v = 7 \\ 3u + 2v = -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 6u - 5v = 7 \\ 6u + 4v = -2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 9v = -9 \\ 3u + 2v = -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} v = -1 \\ u = \frac{1}{3} \end{cases}$$

• Trả lại ẩn ban đầu:

  • Với $v = -1 \Rightarrow \frac{1}{y-2} = -1 \Leftrightarrow y - 2 = -1 \Leftrightarrow y = 1$ (Thỏa mãn).

  • Với $u = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{1}{x-1} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x - 1 = 3 \Leftrightarrow x = 4$ (Thỏa mãn).

• Kết luận: Hệ có nghiệm $(x; y) = (4; 1)$.

Bài tập 3: Giải hệ phương trình chứa ẩn đơn lẻ ở mẫu

Lời giải:

• ĐKXĐ: $x \neq 0$ và $y \neq 0$.

• Đặt $u = \frac{1}{x}$ và $v = \frac{1}{y}$. Hệ trở thành:

  $$\begin{cases} u - v = 1 \\ 3u + 4v = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u = v + 1 \\ 3(v+1) + 4v = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u = v + 1 \\ 7v = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} v = \frac{2}{7} \\ u = \frac{9}{7} \end{cases}$$

• Trả lại ẩn ban đầu:

  • $\frac{1}{x} = \frac{9}{7} \Rightarrow x = \frac{7}{9}$ (Thỏa mãn).

  • $\frac{1}{y} = \frac{2}{7} \Rightarrow y = \frac{7}{2}$ (Thỏa mãn).

• Kết luận: Hệ có nghiệm $(x; y) = \left(\frac{7}{9}; \frac{7}{2}\right)$.

Bài tập 4: Bài tập tổng hợp nâng cao

Lời giải:

• ĐKXĐ: $x \neq 2$ và $y \neq 1$.

• Đặt $u = \frac{1}{x-2}$ và $v = \frac{1}{y-1}$. Hệ trở thành:

  $$\begin{cases} u - v = 2 \\ 2u + 3v = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3u - 3v = 6 \\ 2u + 3v = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 5u = 7 \\ u - v = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u = \frac{7}{5} \\ v = -\frac{3}{5} \end{cases}$$

• Trả lại ẩn ban đầu:

  • $u = \frac{7}{5} \Rightarrow \frac{1}{x-2} = \frac{7}{5} \Leftrightarrow 7(x-2) = 5 \Leftrightarrow x - 2 = \frac{5}{7} \Leftrightarrow x = \frac{19}{7}$ (Thỏa mãn).

  • $v = -\frac{3}{5} \Rightarrow \frac{1}{y-1} = -\frac{3}{5} \Leftrightarrow -3(y-1) = 5 \Leftrightarrow y - 1 = -\frac{5}{3} \Leftrightarrow y = -\frac{2}{3}$ (Thỏa mãn).

• Kết luận: Hệ có nghiệm $(x; y) = \left(\frac{19}{7}; -\frac{2}{3}\right)$.

III. Một số lưu ý khi làm bài

1. Luôn ghi ĐKXĐ ngay từ đầu bài: Đây là lỗi mất điểm phổ biến nhất của các bạn học sinh.

2. Kiểm tra tính logic của ẩn phụ: Khi đặt ẩn phụ, hãy chú ý nếu biểu thức chứa căn thức hoặc bình phương để đặt điều kiện cho $u, v$.

3. Sử dụng máy tính Casio để thử lại: Sau khi tìm được $x, y$, các em nên thay ngược lại hệ ban đầu để đảm bảo kết quả chính xác 100%.