Bài tập về xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng và cách giải - Toán 9 chuyên đề

I. Lý Thuyết Trọng Tâm

Cho hai đường thẳng$(d_1): y = a_1x + b_1$và$(d_2): y = a_2x + b_2$($a_1, a_2 \neq 0$).

1. $(d_1)$ cắt $(d_2)$:Khi và chỉ khi$a_1 \neq a_2$.

   • Trường hợp đặc biệt:Nếu$a_1 \cdot a_2 = -1$thì$(d_1) \perp (d_2)$(vuông góc).

2. $(d_1) // (d_2)$:Khi và chỉ khi$a_1 = a_2$và$b_1 \neq b_2$.

3. $(d_1) \equiv (d_2)$:Khi và chỉ khi$a_1 = a_2$và$b_1 = b_2$.

II. Các dạng bài tập chi tiết

Dạng 1: Xác định vị trí tương đối và tìm tham số m

Bài tập 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

a) $y = 2x + 3$ và $y = -3x - 5$

b) $y = 5x - 3$ và $y = 5x + 7$

c) $y = -2x - 1$ và $y = \frac{1}{2}x + 1$

Lời giải:

• a) Có $a_1 = 2, a_2 = -3$. Vì $a_1 \neq a_2$ nên hai đường thẳng cắt nhau.

• b) Có $a_1 = 5, a_2 = 5$ và $b_1 = -3, b_2 = 7$. Vì $a_1 = a_2$ và $b_1 \neq b_2$ nên hai đường thẳng song song.

• c) Có $a_1 = -2, a_2 = \frac{1}{2}$. Vì $a_1 \cdot a_2 = (-2) \cdot \frac{1}{2} = -1$ nên hai đường thẳng vuông góc.

Bài tập 2: Tìm m để $(d_1): y = (m + 1)x - 5$ và $(d_2): y = (2m - 1)x + 3$:

a) Song song với nhau.

b) Vuông góc với nhau.

Lời giải:

• a) $(d_1) \parallel (d_2) \Leftrightarrow m + 1 = 2m - 1 \Leftrightarrow m = 2$.

• b) $(d_1) \perp (d_2) \Leftrightarrow (m + 1)(2m - 1) = -1$ $\Leftrightarrow 2m^2 + m = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m = 0 \\ m = -1/2 \end{matrix}\right.$.

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng

Bài tập 1: Tìm đường thẳng thỏa mãn điều kiện:

a) Song song với $y = 3x + 2$ và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $5$.

b) Vuông góc với $y = \frac{1}{2}x + 1$ và đi qua $A(2; 1)$.

Lời giải:

• a) Gọi $(d): y = ax + b$. Vì $(d) \parallel (y = 3x + 2) \Rightarrow a = 3$. Vì cắt trục tung tại $y = 5 \Rightarrow b = 5$. Vậy $(d): y = 3x + 5$.

• b) Gọi $(d'): y = kx + m$. Vì $(d') \perp (y = \frac{1}{2}x + 1) \Rightarrow k \cdot \frac{1}{2} = -1 \Rightarrow k = -2$. Đi qua $A(2; 1) \Rightarrow 1 = -2(2) + m \Rightarrow m = 5$. Vậy $(d'): y = -2x + 5$.

Bài tập 2: Xác định đường thẳng $(d')$ đi qua $M(-1; 2)$ và vuông góc với $(d): y = -2x + 1$.

Lời giải:

Gọi $(d'): y = kx + m$. Vì $(d') \perp (d) \Rightarrow k \cdot (-2) = -1 \Rightarrow k = \frac{1}{2}$.

$(d')$ đi qua $M(-1; 2) \Rightarrow 2 = \frac{1}{2}(-1) + m \Rightarrow m = \frac{5}{2}$. Vậy $(d'): y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$.

Bài tập 3: Cho $(d): y = 2x + 1$ và $M(1; 1)$. Xác định hình chiếu của $M$ lên $(d)$.

Lời giải:

Gọi $(d')$ qua $M$ và vuông góc với $(d)$. Ta có $k_{d'} = -1/2$. Phương trình $(d'): y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$.

Hình chiếu $H$ là giao điểm $(d)$ và $(d')$. Giải: $2x + 1 = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \Rightarrow x = 1/5 \Rightarrow y = 7/5$. Vậy $H(1/5; 7/5)$.

Dạng 3: Tìm điểm cố định của họ đường thẳng

Bài tập 1: Chứng minh $(d): y = (m + 1)x + 2x - m$ luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải:

Gọi $M(x_0; y_0)$ là điểm cố định. Ta có: $y_0 = (m + 1)x_0 + 2x_0 - m, \forall m$

$\Leftrightarrow y_0 = mx_0 + x_0 + 2x_0 - m \Leftrightarrow m(x_0 - 1) + (3x_0 - y_0) = 0, \forall m$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x_0 - 1 = 0 \\ 3x_0 - y_0 = 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} x_0 = 1 \\ y_0 = 3 \end{cases} \Rightarrow M(1; 3)$.

Bài tập 2: Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số $y = (2m - 3)x + m - 1$.

Lời giải:

Gọi $M(x_0; y_0)$ là điểm cố định. Ta có: $y_0 = (2m - 3)x_0 + m - 1, \forall m$

$\Leftrightarrow y_0 = 2mx_0 - 3x_0 + m - 1 \Leftrightarrow m(2x_0 + 1) + (-3x_0 - y_0 - 1) = 0, \forall m$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 2x_0 + 1 = 0 \\ -3x_0 - y_0 - 1 = 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} x_0 = -1/2 \\ y_0 = 1/2 \end{cases} \Rightarrow M(-1/2; 1/2)$.