Bài tập về xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng và cách giải - Toán 9 chuyên đề

Bài viết dưới đây trong nội dung toán lớp 9, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách giải bài tập về xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng một cách chi tiết qua các ví dụ minh họa.

I. Cách giải Bài tập về xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng

Cho hai đường thẳng (d₁): y = a₁x + b₁ và (d₂): y = a₂x + b₂.

• (d₁) cắt (d₂) nếu a₁ ≠ a₂.

• (d₁) // (d₂) nếu a₁ = a₂ và b₁ ≠ b₂.

• (d₁) ≡ (d₂) nếu a₁ = a₂ và b1 = b₂.

* Lưu ý: Nếu a₁.a₂ = -1 thì (d₁) vuông góc với (d₂)

II. Một số dạng bài tập về xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng

º Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng cho trước. Tìm tham số m để các đường thẳng thỏa mãn vị trí tương đối cho trước.

* Bài tập 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:

a) y = 2x + 3 và y = -3x - 5

b) y = 5x - 3 và y = 5x + 7

c) y = -2x - 1 và y = (1/2)x + 1

* Lời giải:

a) Đồ thị hàm số y = 2x + 3 có hệ số góc k₁ = 2

Đồ thị hàm số y = -3x - 5 có hệ số góc k₂ = -3

Vì k₁ ≠ k₂ nên hai đồ thị hàm số trên cắt nhau.

b) Đồ thị hàm số y = 5x - 3 có hệ số góc k₁ = 5

Đồ thị hàm số y = 5x + 7 có hệ số góc k₂ = 5

Vì k₁ = k₂ nên đồ thị hai hàm số trên song song với nhau.

c) Đồ thị hàm số y = -2x - 1 có hệ số góc k₁ = -2

Đồ thị hàm số y = (1/2)x + 1 có hệ số góc k₂ = 1/2

Vì k₁ ≠ k₂ nên hai đồ thị hàm số trên cắt nhau.

Hơn nữa k₁.k₂ = (-2).(1/2) = -1 nên hai đường thẳng này vuông góc với nhau.

* Bài tập 2: Tìm m để hai đường thẳng y = (m + 1)x – 5 và y = (2m – 1)x + 3:

a) Song song

b) Vuông góc.

* Lời giải:

a) y = (m + 1)x – 5 và y = (2m – 1)x + 3 song song

⇔ m + 1 = 2m – 1

⇔ m = 2.

Vậy m = 2.

b) y = (m + 1)x – 5 và y = (2m – 1)x + 3 vuông góc

⇔ (m + 1)(2m – 1) = -1

⇔ 2m² + m – 1 = -1

⇔ 2m² + m = 0

⇔ m(2m + 1) = 0

⇔ m = 0 hoặc 2m + 1 = 0

⇔ m = 0 hoặc m = -1/2

Vậy với m= 0 hoặc m = -1/2 thì hai đường thẳng trên vuông góc.

º Dạng 2: Viết (tìm) phương trình đường thẳng

* Bài tập 1: a) Tìm đường thẳng song song với đường thẳng y = 3x + 2 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5.

b) Tìm đường thẳng vuông góc với đường thẳng y = (1/2)x + 1 và đi qua A(2; 1).

* Lời giải:

a) Gọi đường thẳng cần tìm là (d): y = ax + b.

 Vì (d) song song với đường thẳng y = 3x + 2 ⇒ a = 3.

 Vì (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 (tức x = 0 và y = 5) ⇒ b = 5.

Vậy đường thẳng cần tìm là y = 3x + 5.

b) Gọi đường thẳng cần tìm là (d'): y = kx + m

 Vì (d') vuông góc với đường thẳng y = (1/2)x + 1

 ⇒ k.(1/2) = -1 ⇒ k = -2

 khi đó (d') có dạng: y = -2x + m

 Vì (d') đi qua A(2; 1) nên ta có: 1 = -2.2 + m ⇒ m = 5.

Vậy đường thẳng cần tìm là y = -2x + 5.

* Bài tập 2: Cho đường thẳng (d): y = -2x + 1. Xác định đường thẳng d' đi qua M(-1; 2) và vuông góc với d.

* Lời giải:

- Gọi đường thẳng cần tìm là y = kx + m

 Vì (d') vuông góc với (d) nên ta có: k.(-2) = -1 ⇒ k = 1/2 .

 Vì (d') đi qua M(-1; 2) nên ta có: 2 = k.(-1) + m hay m = 2 + k = 5/2 .

Vậy đường thẳng cần tìm là y = (1/2)x + 5/2

* Bài tập 3: Cho đường thẳng (d): y = 2x + 1 và điểm M(1;1). Xác định hình chiếu của M lên đường thẳng (d).

* Lời giải:

- Ta cần tìm đường thẳng d': y = kx + m qua M và vuông góc với d:

 Vì (d') vuông góc với (d) ⇔ k.2 = -1 ⇔ k = -1/2 .

 Vì (d') đi qua M(1;1) ⇔ 1 = (-1/2).1 + m  ⇔ m = 3/2 .

Vậy d': y = -1/2x + 3/2 .

+ Hình chiếu H của M trên d chính là giao điểm của d và d'

Hoành độ điểm H là nghiệm của phương trình:

 2x + 1 = -1/2x + 3/2 ⇔ x = 1/5 ⇒ y = 7/5 .

Vậy hình chiếu của M trên d là H (1/5; 7/5).

º Dạng 3: Tìm điểm cố định mà đường thẳng d luôn đi qua với mọi tham số m

> Phương pháp giải: 

- Gọi M(x₀;y₀) là điểm cần tìm khi đó tọa độ điểm M(x₀;y₀) thỏa mãn phương trình đường thẳng dd.

- Đưa phương trình đường thẳng dd về phương trình bậc nhất ẩn m.

- Từ đó để phương trình bậc nhất ax+b=0 luôn đúng thì a=b=0

- Giải điều kiện ta tìm được x₀ và y₀. Khi đó M(x₀;y₀) là điểm cố định cần tìm.

* Bài tập 1: Chứng tỏ rằng với mọi m họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x - m luôn đi qua một điểm cố định.

* Lời giải:

- Gọi M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

⇔ y₀ = (m + 1)x₀ + 2x₀ - m, ∀m

⇔ y₀ = mx₀ + x₀ + 2x₀ - m, ∀m

⇔ y₀ - mx₀ - 3x₀ - m = 0, ∀m

⇔ m(-x₀ - 1) + (y₀ - 3x₀) = 0, ∀m

Vậy với mọi m, họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x - m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ M(1; 3)

* Bài tập 2: Cho hàm số y = (2m - 3)x + m - 1. Chứng minh rằng đồ thị hàm số đi qua điểm cố định với mọi giá trị của m. Tìm điểm cố định ấy.

* Lời giải:

- Gọi M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

 y₀ = (2m - 3)x₀ + m - 1, với mọi m

⇔ y₀ = 2mx₀ - 3x₀ + m - 1, với mọi m

⇔ y₀ - 2mx₀ - 3x₀ + m - 1 = 0, với mọi m

⇔ m(-2x₀ + 1) + (y₀ - 3x₀ - 1) = 0, với mọi m

Vậy với mọi m, họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x - m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ M(1/2; 5/2).