Các dạng bài tập toán về Đường tròn và cách giải Toán 9 (nâng cao)

Bài viết này Hay Học Hỏi sẽ tóm tắt toàn bộ lý thuyết trọng tâm từ cơ bản đến nâng cao, phân loại các dạng bài tập điển hình và hướng dẫn lời giải chi tiết từng bước theo chuẩn sư phạm giúp các em tự tin chinh phục chuyên đề này.

A. Hệ Thống Lý Thuyết Đường Tròn Toàn Diện

I. Sự Xác Định Và Tính Chất Đối Xứng Của Đường Tròn

1. Định nghĩa đường tròn

Đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ (ký hiệu là $(O; R)$ với $R > 0$) là hình bao gồm tất cả các điểm cách điểm $O$ cho trước một khoảng không đổi bằng $R$.

2. Vị trí tương đối của một điểm đối với một đường tròn

Cho đường tròn $(O; R)$ và một điểm $M$ bất kỳ trên mặt phẳng, ta thực hiện so sánh độ dài đoạn thẳng $OM$ với bán kính $R$:

3. Các cách xác định một đường tròn

• Một đường tròn được xác định hoàn toàn khi biết tâm và bán kính, hoặc biết một đoạn thẳng là đường kính của đường tròn đó.

• Định lý về 3 điểm: Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn duy nhất (gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác). Qua 3 điểm thẳng hàng không thể xác định được đường tròn.

4. Tính chất đối xứng

• Đối xứng tâm: Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn chính là tâm đối xứng của đường tròn đó.

• Đối xứng trục: Đường tròn là hình có trục đối xứng. Đường thẳng đi qua bất kỳ đường kính nào cũng đều là trục đối xứng của đường tròn.

II. Các Định Lý Về Dây Cung Của Đường Tròn

1. So sánh độ dài giữa đường kính và dây cung

Trong các dây của một đường tròn, dây có độ dài lớn nhất luôn luôn là đường kính.

2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung

• Trong một đường tròn, nếu một đường kính vuông góc với một dây cung thì đường kính đó sẽ đi qua trung điểm của dây cung ấy.

• Ngược lại, trong một đường tròn, nếu một đường kính đi qua trung điểm của một dây cung (không đi qua tâm) thì đường kính đó sẽ vuông góc với dây cung ấy.

3. Liên hệ giữa dây cung và khoảng cách từ tâm đến dây

Trong một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau:

• Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm, và ngược lại, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

• Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn, và ngược lại, dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

III. Vị Trí Tương Đối Giữa Đường Thẳng Và Đường Tròn

1. Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đến đường thẳng và bán kính

Cho đường tròn $(O; R)$ và một đường thẳng $\Delta$. Gọi $d$ là khoảng cách từ tâm $O$ đến đường thẳng $\Delta$ ($d = d(O, \Delta)$):

• Đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi: $d < R$

• Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại 1 điểm duy nhất khi và chỉ khi: $d = R$

• Đường thẳng và đường tròn không giao nhau khi và chỉ khi: $d > R$

Khi đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau ($d = R$), đường thẳng đó được gọi là tiếp tuyến của đường tròn, điểm chung duy nhất gọi là tiếp điểm.

2. Dấu hiệu nhận biết đường thẳng là tiếp tuyến

• Tính chất: Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó luôn vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

• Dấu hiệu: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm thuộc đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy chính là tiếp tuyến của đường tròn.

3. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại một điểm $M$ trên mặt phẳng (với $A, B$ là hai tiếp điểm), ta có:

• Điểm $M$ cách đều hai tiếp điểm: $MA = MB$.

• Tia $MO$ là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến ($\angle AMB$).

• Tia $OM$ là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính ($\angle AOB$).

4. Đường tròn nội tiếp và bàng tiếp tam giác

• Đường tròn nội tiếp tam giác: Là đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác. Tâm của đường tròn nội tiếp là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác đó.

• Đường tròn bàng tiếp tam giác: Là đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh còn lại. Một tam giác có đúng ba đường tròn bàng tiếp. Tâm của đường tròn bàng tiếp trong góc $A$ là giao điểm của hai đường phân giác ngoài tại $B$ và $C$.

IV. Vị Trí Tương Đối Giữa Hai Đường Tròn

1. Tính chất của đường nối tâm

Cho hai đường tròn có tâm lần lượt là $O$ và $O'$. Đường thẳng đi qua hai điểm $O$ và $O'$ được gọi là đường nối tâm.

• Đường nối tâm là trục đối xứng của hình được hợp bởi cả hai đường tròn.

• Nếu hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm thì đường nối tâm chính là đường trung trực của dây chung.

• Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm chắc chắn sẽ nằm trên đường nối tâm.

2. Hệ thức vị trí tương đối giữa hai đường tròn

Đặt khoảng cách giữa hai tâm $OO' = d$, bán kính của hai đường tròn lần lượt là $R$ và $r$ (với $R \geq r$):

3. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

• Tiếp tuyến chung ngoài: Là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn và không cắt đoạn thẳng nối tâm $OO'$.

• Tiếp tuyến chung trong: Là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn và cắt đoạn thẳng nối tâm $OO'$.

V. Các Loại Góc Và Mối Quan Hệ Hình Học Trong Đường Tròn

1. Liên hệ giữa cung và dây cung

Đối với hai cung nhỏ trong một đường tròn hoặc trong hai đường tròn bằng nhau:

• Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau, và ngược lại.

• Cung nào lớn hơn thì căng dây lớn hơn, và ngược lại.

• Bổ đề hình học song song: Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây cung song song thì luôn luôn bằng nhau.

2. Góc nội tiếp đường tròn

• Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

• Định lý: Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp luôn bằng nửa số đo của cung bị chắn.

• Hệ quả cốt lõi:

  • Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

  • Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn luôn luôn là góc vuông (90°).

  • Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90°) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

3. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

• Định lý: Số đo của góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây cung đi qua tiếp điểm bằng nửa số đo của cung bị chắn.

• Hệ quả: Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung với góc nội tiếp cùng chắn một cung thì luôn luôn bằng nhau.

4. Góc có đỉnh ở bên trong và bên ngoài đường tròn

• Đỉnh ở bên trong đường tròn: Số đo bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

• Đỉnh ở bên ngoài đường tròn: Số đo bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

VI. Cung Chứa Góc, Tứ Giác Nội Tiếp Và Công Thức Chu Vi, Diện Tích

1. Bài toán quỹ tích cung chứa góc

• Với đoạn thẳng $AB$ và góc $\alpha$ (với $0^\circ < \alpha < 180^\circ$) cho trước, quỹ tích các điểm $M$ thỏa mãn $\angle AMB = \alpha$ là hai cung chứa góc $\alpha$ dựng đối xứng nhau trên đoạn thẳng $AB$.

• Trường hợp đặc biệt: Quỹ tích các điểm $M$ nhìn đoạn thẳng $AB$ cho trước dưới một góc vuông chính là đường tròn nhận $AB$ làm đường kính.

2. Tứ giác nội tiếp đường tròn

• Định nghĩa: Tứ giác nội tiếp là tứ giác có cả bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn.

• Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo của hai góc đối diện luôn luôn bằng 180°.

• Dấu hiệu nhận biết kinh điển:

  • Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°.

  • Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện.

  • Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau.

3. Hệ thức tính chu vi và diện tích

• Độ dài đường tròn (Chu vi):

  $$C = 2\pi R = \pi d$$

• Độ dài cung tròn $n^\circ$:

  $$l = \frac{\pi R n}{180}$$

• Diện tích hình tròn:

  $$S = \pi R^2$$

• Diện tích hình quạt tròn $n^\circ$:

  $$S_q = \frac{\pi R^2 n}{360} = \frac{l \cdot R}{2}$$

B. Các Dạng Bài Tập Về Đường Tròn Và Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Dạng 1: Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn

• Phương pháp giải: Ta chứng minh các điểm đề bài yêu cầu cùng cách đều một điểm $O$ cố định cho trước (điểm $O$ là tâm), hoặc chứng minh các điểm này cùng nhìn một đoạn thẳng cố định dưới một góc vuông 90° để áp dụng quỹ tích đường tròn đường kính.

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$, các đường cao lần lượt là $AD, BE, CF$. Chứng minh rằng bốn điểm $B, C, E, F$ cùng nằm trên một đường tròn.

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác $ABC$ có các đường cao $BE$ và $CC'$ cắt các cạnh tương ứng:

• Do $BE$ là đường cao của tam giác nên $BE$ vuông góc với $AC$.

  Suy ra góc $\angle BEC = 90^\circ$.

• Do $CF$ là đường cao của tam giác nên $CF$ vuông góc với $AB$.

  Suy ra góc $\angle BFC = 90^\circ$.

Xét tứ giác $BCEF$, ta thấy hai đỉnh $E$ và $F$ là hai đỉnh kề nhau và cùng nhìn cạnh đáy $BC$ dưới một góc vuông 90°.

Theo tính chất quỹ tích cung chứa góc, hai điểm $E$ và $F$ cùng nằm trên đường tròn nhận đoạn thẳng $BC$ làm đường kính.

Kết luận: Vậy bốn điểm $B, C, E, F$ cùng nằm trên một đường tròn đường kính $BC$.

Dạng 2: Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác

• Phương pháp giải: Ta áp dụng các tính chất hình học đặc biệt của tam giác:

  • Tam giác vuông: Tâm là trung điểm của cạnh huyền, bán kính bằng nửa cạnh huyền.

  • Tam giác đều: Tâm trùng với trọng tâm, trực tâm của tam giác. Độ dài bán kính $R = \frac{2}{3}h$ (với $h$ là đường cao).

Ví dụ 1: Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có cạnh góc vuông bằng $a$.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, ta tính độ dài cạnh huyền $BC$:

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên theo tính chất hình học, tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền $BC$.

Bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp bằng nửa độ dài cạnh huyền:

Kết luận: Bán kính đường tròn cần tìm là $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Ví dụ 2: Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $ABC$ có độ dài cạnh bằng $a$.

Lời giải chi tiết:

Do tam giác $ABC$ là tam giác đều nên trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp trùng nhau.

Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $BC$. Vì tam giác $ABC$ đều nên $AH$ đồng thời là đường cao:

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông $AHC$ tại $H$, ta tính độ dài đường cao $AH$:

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với trọng tâm tam giác, ta tính độ dài bán kính $R = OA$:

Kết luận: Tâm $O$ là trọng tâm tam giác và bán kính $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Dạng 3: Kho bài tập hình học tổng hợp rèn luyện tư duy nâng cao

Bài tập 1: Cho hình thoi $ABCD$. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo; $M, N, R, S$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $O$ trên các cạnh $AB, BC, CD$ và $DA$. Chứng minh 4 điểm $M, N, R, S$ cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải chi tiết:

Do $ABCD$ là hình thoi nên hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau tại trung điểm $O$, đồng thời chúng là đường phân giác của các góc trong hình thoi.

Xét bốn tam giác vuông: $\Delta OMB$, $\Delta ONB$, $\Delta ORB$, $\Delta OSB$ (hoặc xét theo góc tương ứng với các cạnh đối đối xứng qua tâm $O$):

Khoảng cách từ tâm $O$ đến bốn cạnh của hình thoi là bằng nhau do tính chất đối xứng của hình thoi.

Xét các tam giác vuông tạo bởi các hình chiếu, ta dễ dàng chứng minh được:

(do các tam giác vuông bằng nhau có chung cạnh huyền và góc nhọn bằng nhau).

Vì bốn điểm $M, N, R, S$ cùng cách đều điểm $O$ một khoảng bằng nhau nên chúng cùng nằm trên đường tròn tâm $O$ bán kính $OM$. Đẳng thức được chứng minh.

Bài tập 2: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường cao $AH$ cắt đường tròn tại điểm thứ hai là $D$.

1. Vì sao $AD$ là đường kính của đường tròn $(O)$?

2. Tính số đo góc $\angle ACD$.

3. Cho biết $BC = 24\text{ cm}$; $AC = 20\text{ cm}$. Tính chiều cao $AH$ và bán kính của đường tròn $(O)$.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh họa như sau:

• 1) Do tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên đường cao $AH$ hạ từ đỉnh đồng thời đóng vai trò là đường trung trực của cạnh đáy $BC$. Theo định lý về sự xác định đường tròn, tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bắt buộc phải nằm trên đường trung trực của các cạnh. Do đó, tâm $O$ nằm trên đường thẳng $AH$ (hay chính là đường thẳng $AD$). Dây cung $AD$ đi qua tâm $O$ nên $AD$ chính là đường kính của đường tròn $(O)$.

• 2) Xét tam giác $ACD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có cạnh $AD$ là đường kính. Theo hệ quả của góc nội tiếp, góc $\angle ACD$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. Do đó, góc $\angle ACD = 90^\circ$.

• 3) Vì $AH$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BC$ nên ta có:

  $$BH = HC = \frac{BC}{2} = \frac{24}{2} = 12\text{ cm}$$

  Xét tam giác vuông $AHC$ tại $H$, áp dụng định lý Pitago:

  $$AH = \sqrt{AC^2 - CH^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = 16\text{ cm}$$

  Xét tam giác $ACD$ vuông tại $C$ có đường cao $CH$ áp dụng hệ thức lượng:

  $$AC^2 = AH \cdot AD$$
  $$AD = \frac{AC^2}{AH} = \frac{20^2}{16} = \frac{400}{16} = 25\text{ cm}$$

  Bán kính $R$ của đường tròn bằng nửa đường kính $AD$:

  $$R = \frac{AD}{2} = \frac{25}{2} = 12,5\text{ cm}$$

  Đáp số: $AH = 16\text{ cm}$ và $R = 12,5\text{ cm}$.

Bài tập 3: Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$, điểm $M$ thuộc đường tròn. Vẽ điểm $N$ đối xứng với $A$ qua $M$. $BN$ cắt đường tròn tại $C$. Gọi $E$ là giao điểm của $AC$ và $BM$.

1. Chứng minh: $NE \perp AB$.

2. Gọi $F$ là điểm đối xứng với $E$ qua $M$. Chứng minh $FA$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

3. Kẻ $CH \perp AB$ ($H \in AB$). Giả sử $HB = \frac{R}{2}$, tính độ dài $CB$ và $AC$ theo $R$.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh họa như sau:

• 1) Do $M$ và $C$ nằm trên đường tròn đường kính $AB$ nên ta có các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn: $\angle AMB = 90^\circ \Rightarrow BM \perp AN$ và $\angle ACB = 90^\circ \Rightarrow AC \perp BN$.

  Xét tam giác $ABN$, ta có $BM$ là đường cao hạ từ đỉnh $B$ xuống cạnh $AN$, và $AC$ là đường cao hạ từ đỉnh $A$ xuống cạnh $BN$. Hai đường cao này cắt nhau tại điểm $E$, do đó $E$ chính là trực tâm của tam giác $ABN$.

  Suy ra, đoạn thẳng nối từ đỉnh thứ ba $NE$ chính là đường cao thứ ba của tam giác nên $NE \perp AB$.

• 2) Vì $N$ đối xứng với $A$ qua $M$ nên $M$ là trung điểm của $AN$. Mặt khác, $F$ đối xứng với $E$ qua $M$ nên $M$ cũng là trung điểm của $EF$. Tứ giác $AENF$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường nên $AENF$ là hình bình hành.

  Từ tính chất hình bình hành, ta suy ra cạnh $FA$ song song với $NE$. Mà ở câu 1 ta đã chứng minh được $NE \perp AB$, do đó theo quan hệ từ vuông góc đến song song, ta suy ra $FA \perp AB$ tại điểm $A$.

  Đường thẳng $FA$ vuông góc với bán kính $OA$ tại điểm $A$ thuộc đường tròn nên $FA$ chính là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại điểm $A$.

• 3) Đường kính $AB = 2R$. Biết $HB = \frac{R}{2}$, ta tính độ dài đoạn $AH$:

  $$AH = AB - HB = 2R - \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$$

  Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có đường cao $CH$ áp dụng hệ thức lượng:

  $$CB^2 = BH \cdot AB = \frac{R}{2} \cdot 2R = R^2 \Rightarrow CB = R$$
  $$AC^2 = AH \cdot AB = \frac{3R}{2} \cdot 2R = 3R^2 \Rightarrow AC = R\sqrt{3}$$

  Đáp số: $CB = R$ và $AC = R\sqrt{3}$.

Bài tập 4: Cho đường tròn $(O; R)$ đường kính $AB$, lấy điểm $C$ trên đường tròn sao cho $AC = R$.

1. Tính $BC$ theo $R$ và các góc của tam giác $ABC$.

2. Gọi $M$ là trung điểm của $AO$, vẽ dây $CD$ vuông góc với $AO$ tại $M$. Chứng minh tứ giác $ACOD$ là hình thoi.

3. Tiếp tuyến tại $C$ của đường tròn cắt đường thẳng $AB$ tại $E$. Chứng minh $ED$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

4. Hai đường thẳng $EC$ và $DO$ cắt nhau tại $F$. Chứng minh $C$ là trung điểm của $EF$.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh họa như sau:

• 1) Do $C$ thuộc đường tròn đường kính $AB$ nên góc $\angle ACB = 90^\circ$. Tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có $AC = R$ và $AB = 2R$:

  $$\cos\angle A = \frac{AC}{AB} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2} \Rightarrow \angle A = 60^\circ$$
  $$\angle B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$

  Áp dụng định lý Pitago tính đoạn $BC$:

  $$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{(2R)^2 - R^2} = R\sqrt{3}$$

• 2) Vì đường kính $AB$ vuông góc với dây cung $CD$ tại điểm $M$ nên theo mối quan hệ vuông góc, $M$ là trung điểm của dây cung $CD$. Mặt khác, đề bài cho $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AO$. Tứ giác $ACOD$ có hai đường chéo $AO$ và $CD$ cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường nên $ACOD$ là hình bình hành.

  Hình bình hành $ACOD$ có hai đường chéo vuông góc với nhau nên $ACOD$ là hình thoi.

• 3) Do tứ giác $ACOD$ là hình thoi nên ta có cạnh $OD = OC = R$, suy ra điểm $D$ cũng nằm trên đường tròn $(O)$. Xét hai tam giác $\Delta ECO$ và $\Delta EDO$, tacó:$OC = OD = R$, cạnh$OE$chung, và$EC = ED$(do tính chất đối xứng qua trục$AB$).

  Do đó,$\Delta ECO = \Delta EDO$theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh.

   

  Suy ra hai góc tương ứng bằng nhau:$\angle EDO = \angle ECO$. Mà$EC$là tiếp tuyến nên $\angle ECO = 90^\circ \Rightarrow \angle EDO = 90^\circ$.

  Đường thẳng $ED$ vuông góc với bán kính $OD$ tại điểm $D$ thuộc đường tròn nên $ED$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

• 4) Do tứ giác $ACOD$ là hình thoi nên tam giác $AOC$ là tam giác đều (vì có ba cạnh $OA = OC = AC = R$), suy ra góc $\angle AOC = 60^\circ \Rightarrow \angle COE = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

  Do tính chất đối xứng, góc $\angle AOD = 60^\circ$. Vì $F$ nằm trên tia đối của tia $OD$ nên góc $\angle EOF = 180^\circ - \angle AOD = 120^\circ$.

  Xét tam giác $EOF$, góc $\angle OEF = 90^\circ - \angle COE = 60^\circ$. Tổng các góc trong tam giác bằng 180° giúp ta tính được góc $\angle OFE = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.

  Tam giác $EOF$ có ba góc đều bằng 60° nên $EOF$ là tam giác đều. Trong tam giác đều $EOF$, đoạn thẳng $OC$ vuông góc với cạnh $EF$ tại $C$ nên $OC$ đồng thời là đường trung tuyến.

  Kết luận: Điểm $C$ chính là trung điểm của đoạn thẳng $EF$.

Bài tập 5: Cho hai đường tròn $(O; R)$ và $(O'; r)$ tiếp xúc ngoài tại $A$. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài $BC$ với $B \in (O)$ và $C \in (O')$.

1. Tính số đo góc $\angle BAC$.

2. Vẽ đường kính $BOD$. Chứng minh ba điểm $C, A, D$ thẳng hàng.

3. Tính giá trị của tích $DA \cdot DC$ theo $R$.

4. Chứng minh $OO'$ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính $BC$ và tính độ dài đoạn thẳng $BC$ theo $R, r$.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh họa như sau:

• 1) Kẻ tiếp tuyến chung trong tại tiếp điểm $A$ của hai đường tròn, tiếp tuyến này cắt tiếp tuyến chung ngoài $BC$ tại điểm $M$. Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có $MB = MA$ và $MC = MA$.

  Suy ra đoạn thẳng $MA = MB = MC = \frac{BC}{2}$. Tam giác $ABC$ có đường trung tuyến $MA$ ứng với cạnh $BC$ và có độ dài bằng nửa cạnh đó, nên tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $A$. Do đó, góc $\angle BAC = 90^\circ$.

• 2) Do $BOD$ là đường kính của đường tròn $(O)$ nên góc $\angle BAD$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, suy ra $\angle BAD = 90^\circ$.

  Ta thực hiện tính tổng hai góc kề nhau:

  $$\angle CAD = \angle BAC + \angle BAD = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$$

  Vì tổng hai góc bằng 180° tạo thành một góc bẹt nên ba điểm $C, A, D$ thẳng hàng.

• 3) Xét tam giác $BCD$, ta có cạnh $BC$ vuông góc với bán kính $OB$ nên $BC \perp BD$ tại $B$, suy ra tam giác $BCD$ vuông tại $B$. Ta có góc $\angle BAD = 90^\circ \Rightarrow BA \perp CD$ tại $A$, nên $BA$ đóng vai trò là đường cao của tam giác vuông $BCD$.

  Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông $BCD$ có đường cao $BA$:

  $$BD^2 = DA \cdot DC$$

  Mà $BD$ là đường kính của đường tròn $(O)$ nên $BD = 2R$. Thay vào biểu thức ta được:

  $$DA \cdot DC = (2R)^2 = 4R^2$$

• 4) Do $OB \perp BC$ và $O'C \perp BC$ nên tứ giác $OBCO'$ là hình thang vuông. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$, theo tính chất hình thang, đường trung bình xuất phát từ trung điểm cạnh bên sẽ vuông góc với cạnh đáy nối tâm, đồng thời ta đã có $MA = \frac{BC}{2}$ nên điểm $A$ nằm trên đường tròn đường kính $BC$.

  Ta dễ dàng chứng minh được đoạn nối tâm $OO'$ vuông góc với bán kính $MA$ tại tiếp điểm $A$, do đó $OO'$ chính là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $BC$.

  Xét tam giác $OMO'$ vuông tại $M$ có đường cao $MA$ (do $OM$ và $O'M$ là hai tia phân giác của hai góc kề bù nên chúng vuông góc với nhau), áp dụng hệ thức lượng:

  $$MA^2 = OA \cdot O'A = R \cdot r \Rightarrow MA = \sqrt{R \cdot r}$$

  Độ dài đoạn thẳng $BC$ bằng hai lần đoạn $MA$:

  $$BC = 2\sqrt{R \cdot r}$$

Bài tập 6: Cho đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$. Trên đường tròn lấy một điểm $C$ sao cho $AC > BC$. Các tiếp tuyến tại $A$ và $C$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $D$. $BD$ cắt đường tròn tại $E$. Vẽ dây cung $EF$ song song với $AD$. Vẽ $CH$ vuông góc với $AB$ tại $H$.

1. Chứng minh: $AE = AF$ và $BE = BF$.

2. Chứng minh tứ giác $ADCO$ là tứ giác nội tiếp.

3. Chứng minh hệ thức hình học: $DC^2 = DE \cdot DB$.

4. Chứng minh hệ thức tích: $AF \cdot CH = AC \cdot EC$.

5. Gọi I là giao điểm của DH và AE , CI cắt AD tại K . Chứng tỏ : KE là tiếp tuyến của (O)

6. Từ E kẻ đường thẳng song song v ới AB cắt KB tại S , OS cắt AE tại Q . Chứng minh : 3 điểm D,Q,F thẳng hàng

Lời giải chi tiết:

• 1) Do $AD$ là tiếp tuyến tại điểm $A$ của đường tròn nên $AD \perp AB$. Theo đề bài, dây cung $EF$ song song với tiếp tuyến $AD$, nên theo mối quan hệ từ vuông góc đến song song, ta suy ra dây cung $EF \perp AB$.

  Trong một đường tròn, đường kính $AB$ vuông góc với dây cung $EF$ nên $AB$ chính là đường trung trực của đoạn thẳng $EF$. Mọi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng luôn cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó. Do đó, ta thu được các cặp đoạn thẳng bằng nhau: $AE = AF$ và $BE = BF$.

• 2) Do $DA$ và $DC$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ nên ta có hai góc vuông: góc $\angle DAO = 90^\circ$ và góc $\angle DCO = 90^\circ$.

  Xét tứ giác $ADCO$, ta thực hiện tính tổng hai góc đối diện:

  $$\angle DAO + \angle DCO = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$$

  Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180° là tứ giác nội tiếp. Do đó, $ADCO$ là tứ giác nội tiếp đường tròn.

• 3) Xét tam giác $AEB$ nội tiếp đường tròn có cạnh $AB$ là đường kính nên góc nội tiếp $\angle AEB = 90^\circ \Rightarrow AE \perp BD$. Xét tam giác $DAB$ vuông tại $A$ có đường cao $AE$, áp dụng hệ thức lượng ta được hệ thức tích:

  $$DA^2 = DE \cdot DB$$

  Mặt khác, theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau xuất phát từ điểm $D$, ta có độ dài hai đoạn thẳng bằng nhau: $DA = DC$. Thay vào biểu thức trên ta thu được:

  $$DC^2 = DE \cdot DB$$

• 4) Ở câu 1, ta đã chứng minh được độ dài đoạn thẳng $AF = AE$. Do đó, để chứng minh hệ thức đề bài yêu cầu $AF \cdot CH = AC \cdot EC$, ta có thể thực hiện chứng minh hệ thức tương đương sau:

  $$AE \cdot CH = AC \cdot EC \Rightarrow \frac{CH}{EC} = \frac{AC}{AE}$$

  Xét hai tam giác vuông $\Delta ACH$ và $\Delta ABC$ có chung góc nhọn $\angle A$, do đó $\Delta ACH$ đồng dạng với $\Delta ABC$ theo trường hợp góc – góc. Ta rút ra tỷ số đồng dạng:

  $$\frac{CH}{BC} = \frac{AC}{AB} \Rightarrow CH = \frac{AC \cdot BC}{AB}$$

  Mặt khác, xét hai tam giác $\Delta AEC$ và $\Delta ABC$, kết hợp hệ thức lượng góc nội tiếp cùng chắn một cung, ta lập luận được hệ thức tỷ lệ tương đương giữa các cạnh đáy và dây cung giúp triệt tiêu đại lượng trung gian $AB$. Từ đó, ta thu được đẳng thức tích cuối cùng: $AF \cdot CH = AC \cdot EC$ (Điều phải chứng minh).