[Tổng hợp] Các dạng bài tập về tỉ số lượng giác của góc nhọn Toán 9

1. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Trong tam giác vuông, với góc nhọn $\alpha$, các tỉ số lượng giác được định nghĩa như sau:

• $\sin \alpha = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AB}{BC}$

• $\cos \alpha = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AC}{BC}$

• $\tan \alpha = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \frac{AB}{AC}$

• $\cot \alpha = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}} = \frac{AC}{AB}$

  

Cách nhớ gợi ý:

"Sin đi học, Cos không hư, Tan đoàn kết, Cot kết đoàn".

Ngoài ra, khi giải các bài tập, các em cần linh hoạt vận dụng thêm các hệ thức lượng trong tam giác vuông.

2. Các dạng bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn

Dạng 1: Tính các tỉ số lượng giác của góc

Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Biết $\cos B = 0,8$, hãy tính các tỉ số lượng giác của góc $C$.

• Lời giải:

  • Góc $B$ và $C$ phụ nhau nên $\sin C = \cos B = 0,8$.

  • Từ công thức $\sin^2 C + \cos^2 C = 1$ suy ra:

    $\cos C = \sqrt{1 - \sin^2 C} = \sqrt{1 - 0,8^2} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6$.

  • Lại có: $\tan C = \frac{\sin C}{\cos C} = \frac{0,8}{0,6} = \frac{4}{3}$; $\cot C = \frac{\cos C}{\sin C} = \frac{0,6}{0,8} = 0,75$.

Ví dụ 2: Cho tam giác vuông có một góc $60^\circ$ và cạnh huyền bằng $8$. Tìm cạnh đối diện góc $60^\circ$.

• Lời giải: Cạnh đối diện góc $60^\circ$ là $AC$, ta có:

  $\sin B = \frac{AC}{BC} \Rightarrow AC = BC \cdot \sin 60^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$.

Ví dụ 3: Tìm $x$ trong hình.

• Lời giải:

  • Vì $\widehat{B} = 45^\circ \Rightarrow \widehat{HAB} = 45^\circ$ (góc phụ trong tam giác vuông $ABH$).

  • Suy ra $\Delta ABH$ vuông cân tại $H$, nên $AH = HB = 20$.

  • Áp dụng định lí Pitago trong $\Delta AHC$: $x^2 = AH^2 + HC^2 = 20^2 + 21^2 = 841 \Rightarrow x = 29$.

Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức

Ví dụ 1: Chứng minh:

a) $\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$

b) $\sin^4 \alpha + \cos^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 2\sin^2 \alpha$

• Lời giải:

  a) $\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$

• Bước 1 (Phân tích): Các em hãy nhìn vào vế trái, đây chính là hằng đẳng thức đáng nhớ "Hiệu hai bình phương" có dạng $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.

• Bước 2 (Áp dụng): Ta có $cos^4\alpha = (cos^2\alpha)^2$ và $sin^4\alpha = (sin^2\alpha)^2$.

• Bước 3 (Thực hiện):

  $$VT = (cos^2\alpha)^2 - (sin^2\alpha)^2$$
  $$VT = (cos^2\alpha - sin^2\alpha) \cdot (cos^2\alpha + sin^2\alpha)$$

• Bước 4 (Kết luận): Vì ta đã học công thức cơ bản $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, nên biểu thức trở thành:

  $$VT = (cos^2\alpha - sin^2\alpha) \cdot 1 = cos^2\alpha - sin^2\alpha = VP$$

  (Vậy đẳng thức đã được chứng minh).

  b) $\sin^4 \alpha + \cos^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 2\sin^2 \alpha$

• Bước 1 (Tìm nhân tử chung): Các em quan sát vế trái (VT), ta thấy cả 3 hạng tử đều có chứa $sin^2\alpha$. Vậy ta sẽ đặt $sin^2\alpha$ làm nhân tử chung.

• Bước 2 (Thực hiện):

  $VT = sin^2\alpha \cdot (sin^2\alpha + cos^2\alpha + 1)$

• Bước 3 (Sử dụng công thức cơ bản): Ta đã biết $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$. Thay vào biểu thức trong ngoặc:

  $VT = sin^2\alpha \cdot (1 + 1)$

  $VT = sin^2\alpha \cdot 2 = 2sin^2\alpha$

• Bước 4 (Kết luận): Vậy $VT = VP$, đẳng thức đã được chứng minh.

Ví dụ 2: $\Delta ABC$ nhọn, diện tích $S$, đường cao $AH = h$. Nếu $S = h^2$, chứng minh $\cot B + \cot C = 2$.

• Lời giải: $S = \frac{1}{2}BC \cdot h = h^2 \Rightarrow BC = 2h$.

  $\cot B + \cot C = \frac{BH}{AH} + \frac{CH}{AH}$ $= \frac{BC}{AH} = \frac{2h}{h} = 2$. (ĐPCM)

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức

Ví dụ: Tính không dùng máy tính:

a) $A = \sin^2 15^\circ + \sin^2 25^\circ + \sin^2 35^\circ + \sin^2 45^\circ + \sin^2 55^\circ + \sin^2 65^\circ + \sin^2 75^\circ$

b) $B = 4\cos^2 \alpha - 3\sin^2 \alpha$ với $\cos \alpha = 4/7$.

• Lời giải:

  a) $A = \sin^2 15^\circ + \sin^2 25^\circ + \sin^2 35^\circ + \sin^2 45^\circ + \sin^2 55^\circ + \sin^2 65^\circ + \sin^2 75^\circ$

• Bước 1 (Nhóm các góc phụ nhau): Các em nhớ rằng nếu hai góc phụ nhau ($\alpha + \beta = 90^\circ$) thì $sin\alpha = cos\beta$, dẫn đến $sin^2\alpha + sin^2\beta = sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

• Bước 2 (Sắp xếp lại):

  $A = (sin^2 15^\circ + sin^2 75^\circ) + (sin^2 25^\circ + sin^2 65^\circ) + (sin^2 35^\circ + sin^2 55^\circ) + sin^2 45^\circ$

• Bước 3 (Áp dụng công thức):

  $A = (sin^2 15^\circ + cos^2 15^\circ) + (sin^2 25^\circ + cos^2 25^\circ) + (sin^2 35^\circ + cos^2 35^\circ) + sin^2 45^\circ$

• Bước 4 (Tính toán):

  $A = 1 + 1 + 1 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2$

  $A = 3 + \frac{2}{4} = 3 + 0,5 = 3,5$ (hoặc $\frac{7}{2}$).

  b) $B = 4\cos^2 \alpha - 3\sin^2 \alpha$ với $\cos \alpha = 4/7$.

• Bước 1 (Tìm $sin^2\alpha$): Từ công thức $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, ta suy ra:

  $sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$

• Bước 2 (Thay số):

  $sin^2\alpha = 1 - (\frac{4}{7})^2 = 1 - \frac{16}{49} = \frac{49 - 16}{49} = \frac{33}{49}$

• Bước 3 (Tính B): Thay vào biểu thức B:

  $B = 4 \cdot (\frac{16}{49}) - 3 \cdot (\frac{33}{49})$

  $B = \frac{64}{49} - \frac{99}{49} = -\frac{35}{49}$

• Bước 4 (Rút gọn): Chia cả tử và mẫu cho 7:

  $B = -\frac{5}{7}$

Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào góc

Ví dụ: Chứng minh giá trị không phụ thuộc vào $\alpha$:

a) $\cos^2 \alpha \cdot \cos^2 \beta + \cos^2 \alpha \cdot \sin^2 \beta + \sin^2 \alpha$

b) $2(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + 6\sin \alpha \cdot \cos \alpha$

c) $(\tan \alpha - \cot \alpha)^2 - (\tan \alpha + \cot \alpha)^2$

• Lời giải:

  a) $\cos^2 \alpha \cdot \cos^2 \beta + \cos^2 \alpha \cdot \sin^2 \beta + \sin^2 \alpha$

• Bước 1 (Nhóm hạng tử): Các em hãy quan sát hai số hạng đầu tiên, cả hai đều có chứa thừa số chung là $\cos^2\alpha$. Ta sẽ đặt nó làm nhân tử chung:

  $$K = \cos^2\alpha \cdot (\cos^2\beta + \sin^2\beta) + \sin^2\alpha$$

• Bước 2 (Áp dụng công thức cơ bản): Trong ngoặc đơn chính là công thức lượng giác cơ bản: $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$

  Thay vào biểu thức:

  $$K = \cos^2\alpha \cdot (1) + \sin^2\alpha$$

• Bước 3 (Rút gọn):

  $$K = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha$$

• Bước 4 (Kết luận): Theo công thức lượng giác cơ bản, tổng bình phương của sin và cos cùng một góc luôn bằng 1:

  $$K = 1$$

  Vì kết quả cuối cùng là một hằng số ($1$) và không còn chứa các biến $\alpha, \beta$, nên giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của các góc nhọn $\alpha, \beta$

  b) $2(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + 6\sin \alpha \cdot \cos \alpha$

• Bước 1 (Khai triển hằng đẳng thức):

  • $(sin\alpha - cos\alpha)^2 = sin^2\alpha - 2sin\alpha \cdot cos\alpha + cos^2\alpha = 1 - 2sin\alpha \cdot cos\alpha$

  • $(sin\alpha + cos\alpha)^2 = sin^2\alpha + 2sin\alpha \cdot cos\alpha + cos^2\alpha = 1 + 2sin\alpha \cdot cos\alpha$

• Bước 2 (Thay vào biểu thức K):

  $K = 2 \cdot (1 - 2sin\alpha \cdot cos\alpha) - (1 + 2sin\alpha \cdot cos\alpha) + 6sin\alpha \cdot cos\alpha$

• Bước 3 (Nhân phá ngoặc):

  $K = 2 - 4sin\alpha \cdot cos\alpha - 1 - 2sin\alpha \cdot cos\alpha + 6sin\alpha \cdot cos\alpha$

• Bước 4 (Thu gọn):

  $K = (2 - 1) + (-4 - 2 + 6) \cdot sin\alpha \cdot cos\alpha$

  $K = 1 + 0 \cdot sin\alpha \cdot cos\alpha = 1$

• Kết luận: Vì $K = 1$ (một hằng số), nên giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào góc $\alpha$

  c) $(\tan \alpha - \cot \alpha)^2 - (\tan \alpha + \cot \alpha)^2$

• Cách 1 (Khai triển hằng đẳng thức):

  • $(tan\alpha - cot\alpha)^2 = tan^2\alpha - 2 \cdot tan\alpha \cdot cot\alpha + cot^2\alpha$

  • $(tan\alpha + cot\alpha)^2 = tan^2\alpha + 2 \cdot tan\alpha \cdot cot\alpha + cot^2\alpha$

  • Vì $tan\alpha \cdot cot\alpha = 1$, ta có:

    $K = (tan^2\alpha - 2 + cot^2\alpha) - (tan^2\alpha + 2 + cot^2\alpha)$

    $K = tan^2\alpha - 2 + cot^2\alpha - tan^2\alpha - 2 - cot^2\alpha = -4$.

• Cách 2 (Sử dụng $A^2 - B^2$):

  • $K = [(tan\alpha - cot\alpha) - (tan\alpha + cot\alpha)] \cdot [(tan\alpha - cot\alpha) + (tan\alpha + cot\alpha)]$

  • $K = (-2cot\alpha) \cdot (2tan\alpha) = -4 \cdot (cot\alpha \cdot tan\alpha) = -4 \cdot 1 = -4$

  • Kết luận: Vì kết quả là một hằng số ($-4$) và không còn chứa $\alpha$, nên biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của góc $\alpha$